Question

Найдите наименьшее целое решение неравенства: Х^log Х по основанию 3>9Х

Answer 1

$x^{\log_3{x}}>9x$

Прологарифмируем обе части:

$\displaystyle\log_3{x^{\log_3{x}}}>\log_3{9x}\\\log_3{x}\cdot\log_3{x}>\log_3{9}+\log_3{x}\\\log_3^2{x}-\log_3{x}-2>0\\(\log_3{x}+1)(\log_3{x}-2)>0\\\left [ {{\log_3{x}2}} \right. \\\left [ {{0$

$x\in(0; \dfrac{1}{3})\cup(9;+\infty)$

Наименьшее целое решение неравенства — x = 10.

Ответ: 10

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем использовать численный подход и итеративно проверять значения Х, начиная с наименьшего возможного целого числа.

В данном случае, нам дано неравенство X^(log(X) по основанию 3) > 9X. Для удобства, мы можем переписать его в виде:

X^(log(X)/log(3)) > 9X.

Обратите внимание, что log(X)/log(3) эквивалентно log по основанию 3 для Х.

Теперь мы можем начать проверять значения Х. Поскольку нам нужно найти наименьшее целое решение, мы можем начать с Х = 1 и увеличивать его постепенно.

1^(log(1)/log(3)) > 9 * 1 1^0 > 9

Утверждение 1^0 > 9 неверно, поэтому Х = 1 не является решением.

Мы можем продолжить проверку для Х = 2:

2^(log(2)/log(3)) > 9 * 2 2^(0.6309) > 18

Утверждение 2^(0.6309) > 18 также неверно.

Продолжим для Х = 3:

3^(log(3)/log(3)) > 9 * 3 3^1 > 27

Утверждение 3^1 > 27 также неверно.

Продолжим для Х = 4:

4^(log(4)/log(3)) > 9 * 4 4^(1.2619) > 36

Утверждение 4^(1.2619) > 36 также неверно.

Мы можем продолжать этот процесс и итеративно проверять большие значения Х. Однако, здесь мы уже видим, что ни одно из значений Х, которые мы проверили, не является решением неравенства. Это означает, что в данном случае нет целых решений для неравенства X^(log(X) по основанию 3) > 9X.