Question

Желательно с подробностями решения. √cos^2x+sinx*cosx=-2cosx (все под корнем, до =)

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом:

1. Перепишем уравнение для удобства: √(cos^2(x) + sin(x)cos(x)) = -2cos(x)

2. Заметим, что под корнем у нас выражение, содержащее sin(x) и cos(x), а также их квадраты. Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы переписать выражение под корнем в более удобной форме.

3. Начнем с тригонометрической идентичности: sin^2(x) + cos^2(x) = 1 Теперь разделим все на cos^2(x):

   sin^2(x)/cos^2(x) + 1 = 1/cos^2(x)

   Теперь заметим, что sin^2(x)/cos^2(x) = tan^2(x), а 1/cos^2(x) = sec^2(x):

   tan^2(x) + 1 = sec^2(x)

4. Теперь заменим в исходном уравнении √(cos^2(x) + sin(x)cos(x)) на √(1 + sin(x)cos(x)), используя идентичность из шага 3:

   √(1 + sin(x)cos(x)) = -2cos(x)

5. Теперь избавимся от корня, возводя обе стороны уравнения в квадрат:

   (1 + sin(x)cos(x)) = (-2cos(x))^2 1 + sin(x)cos(x) = 4cos^2(x)

6. Перенесем все на одну сторону уравнения:

   4cos^2(x) - sin(x)cos(x) - 1 = 0

7. Посмотрим на получившееся уравнение. У него есть смешанный член sin(x)cos(x) (произведение синуса и косинуса). Мы можем попробовать решить его методом замены, введя новую переменную u = sin(x)cos(x), тогда u будет равно sin(x)cos(x):

   4cos^2(x) - u - 1 = 0

8. Теперь решим это уравнение относительно u:

   u = 4cos^2(x) - 1

9. Мы знаем, что sin(x)cos(x) = u, поэтому можем подставить u в это выражение:

   sin(x)cos(x) = 4cos^2(x) - 1

10. Теперь, чтобы решить уравнение относительно x, нужно решить следующее квадратное уравнение:

4cos^2(x) - 1 = 0

11. Решим уравнение 4cos^2(x) - 1 = 0:

4cos^2(x) = 1 cos^2(x) = 1/4

12. Найдем два возможных значения для cos(x):

cos(x) = ±√(1/4) = ±1/2

13. Теперь нам нужно найти значения x, удовлетворяющие каждому из двух значений cos(x):

a) Если cos(x) = 1/2: Тогда x = π/3 + 2πn или x = 5π/3 + 2πn, где n - любое целое число.

b) Если cos(x) = -1/2: Тогда x = 2π/3 + 2πn или x = 4π/3 + 2πn, где n - любое целое число.

Итак, получаем четыре решения для данного уравнения:

x = π/3 + 2πn, где n - любое целое число. x = 2π/3 + 2πn, где n - любое целое число. x = 5π/3 + 2πn, где n - любое целое число. x = 4π/3 + 2πn, где n - любое целое число.