Question

СРОЧНО!!! 20 БАЛОВ Есть две клетчатых шоколадки 5 на 7. Двое по очереди разламывают шоколадку или любой из ранее отломанных кусков на два меньших по границам клеток. Если образуются один или несколько одноклеточных кусков, отломивший их съедает. Докажите, что второй может съесть не меньше первого.

Answer 1

Надо посчитать сколько всего кусков,5*7=35 кусков.По логике один съест 17 кусков а другой 18 кусков.Потому что,если первый ест один и несколько шоколадок,,он ест не четное число ( есть 1 ) , а другой жадина ест только несколько по два четыре

Answer 2

Для доказательства того, что второй игрок может съесть не меньше первого, мы можем использовать метод математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай Рассмотрим исходную шоколадку размером 1x1 клетка. В этом случае первый игрок может отломить ее на две половинки, но у второго игрока не останется кусков для съедения. Таким образом, первый игрок съест одну клетку шоколадки, а второй игрок не сможет съесть ни одной. Первый игрок съест больше.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение верно для шоколадки размером n x m клеток, где n и m - произвольные целые числа.

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что утверждение верно для шоколадки размером (n+1) x (m+1) клеток.

Рассмотрим шоколадку размером (n+1) x (m+1). Первый игрок может выбрать горизонтальную или вертикальную границу и разломить шоколадку на две части. Пусть первый игрок выбрал горизонтальную границу и получил две шоколадки размерами n x (m+1) и 1 x (m+1).

• Для шоколадки размером n x (m+1) по предположению индукции второй игрок может съесть не меньше первого игрока.
• Для шоколадки размером 1 x (m+1) мы можем применить аналогичное рассуждение и утверждение остается верным.

Таким образом, второй игрок может съесть не меньше первого игрока в случае шоколадки размером (n+1) x (m+1).

Так как утверждение верно для базового случая и каждого последующего случая, мы можем сделать вывод, что второй игрок всегда может съесть не меньше первого игрока, независимо от размера исходной шоколадки.