Question

Задача 8.8. На каждой клетке доски 9 × 9 сидело по жуку. По сигналу каждый жук переполз на одну из соседних клеток по стороне (при этом в каких-то клетках могло оказаться несколько жуков). а) (2 балла) Могла ли остаться пустой ровно одна клетка? б) (4 балла) Могло ли вовсе не остаться пустых клеток? Дополнительные задачи Задача 8.9. (2 балла) Можно ли разрезать доску 10 × 10 на тетраминошки (фигурки из 4 клеток) в виде буквы T? Задача 8.10. (3 балла) У хозяйки было два клетчатых коврика: 6 × 6 клеток и 8 × 8 клеток. Она решила сделать из них один коврик 10 × 10 клеток. Помогите ей добиться этого, разрезав каждый коврик не более чем на две части и не повредив ни одной клеточки.

Answer 1

Задача 8.8
Ответ: а)
Задача8.9
Нет, нельзя, т к буква Т из пяти клеток
Задача 8.19
Извини, не знаю

Answer 2

Решение задачи 8.8:

а) Нет, не могла. Заметим, что каждый переход жука соответствует изменению четности количества жуков на клетке. Начальное расположение жуков содержит нечетное число жуков на каждой клетке, поэтому после любого количества переходов все клетки должны содержать нечетное число жуков. Таким образом, невозможно получить состояние, где только одна клетка не содержит жука.

б) Нет, не могло. Как и в предыдущем пункте, заметим, что количество жуков на всех клетках в совокупности должно быть нечетным, и каждый переход жука не меняет эту четность. Изначально на доске 81 жук, т.е. четное число. Если бы после некоторого количества переходов не осталось пустых клеток, то на каждой клетке должен был остаться жук, и всего на доске должно было остаться четное число жуков. Противоречие.

Решение задачи 8.9:

Размер доски 10 × 10 равен 25 тетраминошкам, а фигурка в форме буквы T занимает 4 клетки, поэтому мы должны использовать 25/4 = 6.25 фигурок. Однако 6 фигурок оставляют непокрытой одну клетку, а использование 7 фигурок не даст нам возможности заполнить всю доску в форме буквы T. Таким образом, мы не можем разрезать доску на тетраминошки в форме буквы T.

Решение задачи 8.10:

Мы можем разрезать каждый коврик на 4 квадрата 2 × 2 клетки, тогда у нас будет 18 квадратов и 1 квадрат 1 × 1 клетка. Добавив к этому квадрат 2 × 2 из запасной клетки, мы получим 10 × 10 коврик:

Copy code
AABBCCEEFF
AABBCCEEFF
GGHHIIJJLL
GGHHIIJJLL
MMNNOOPPSS
MMNNOOPPSS
QQRRSTTUVV
QQRRSTTUVV
WWXXYYZZ00

где буквы обозначают разные квадраты 2 × 2 клетки, а цифры обозначают запасные клетки.