Question

Y=(ln(x+7))^tgx Знайти похідну функції

Answer 1

/////////////////////////////

Answer 2

Для знаходження похідної функції Y відносно змінної x, скористаємося правилом диференціювання композиції функцій (ланцюжковим правилом).

Позначимо першу функцію як u(x) = ln(x + 7), а другу як v(x) = tg(x) (де tg(x) - тангенс від x).

1. Обчислимо похідну першої функції u(x): d(u(x))/dx = d(ln(x + 7))/dx

Користуючись правилом диференціювання логарифма, отримуємо: d(u(x))/dx = 1/(x + 7) * d(x + 7)/dx = 1/(x + 7) * 1 = 1/(x + 7)

2. Обчислимо похідну другої функції v(x): d(v(x))/dx = d(tg(x))/dx

Користуючись правилом диференціювання тангенса, отримуємо: d(v(x))/dx = sec^2(x) (де sec(x) - секанс від x, а sec^2(x) - його квадрат)

3. Тепер, скористаємося ланцюжковим правилом:

d(Y)/dx = d((ln(x + 7))^tg(x))/dx

Застосовуємо формулу: d(u^v)/dx = v * u^(v-1) * du/dx + u^v * ln(u) * dv/dx

Отримаємо:

d(Y)/dx = tg(x) * (ln(x + 7))^(tg(x) - 1) * 1/(x + 7) + (ln(x + 7))^tg(x) * ln(x + 7) * sec^2(x)

Таким чином, похідна функції Y є:

d(Y)/dx = tg(x) * (ln(x + 7))^(tg(x) - 1) * 1/(x + 7) + (ln(x + 7))^tg(x) * ln(x + 7) * sec^2(x)