Question

На олимпиаде по математике было предложено пять задач. Все они оказались разной сложностии поэтому были оценены разными целыми положительными числами баллов. Петя полностью все пять задач. При этом он заметил, что за две самые легкие задачи он получил 10 баллов, а за две самые трудные -18 баллов. Сколько баллов получил Петя за решение всех пяти задач?

Answer 1

Пусть каждую задачу оценили в a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ баллов, причём a₁ < a₂ < a₃ < a₄ < a₅. По условию a₁ + a₂ = 10, a₄ + a₅ = 18.

Оценим a₁: 2a₁ = a₁ + a₁ < a₁ + a₂ = 10 ⇒ a₁ < 5 ⇒ a₁ ≤ 4.

Оценим a₄: 2a₄ = a₄ + a₄ < a₄ + a₅ = 18 ⇒ a₄ ≤ 8. Опять же, учитывая, что числа натуральны и различны, можем сказать, что a₃ ≤ 7, a₂ ≤ 6.

a₁ + a₂ = 10. Если a₂ ≤ 6, то a₁ ≥ 4. Но по другой оценке a₁ ≤ 4. Значит, a₁ = 4 ⇒ a₂ = 6. Если a₂ = 6, то a₃ ≥ 7, но по другой оценке a₃ ≤ 7. Значит, a₃ = 7. По такой же логике получаем a₄ = 8 и a₅ = 10 (то есть убеждаемся, что такая ситуация вообще возможна).

Зная a₁ + a₂, a₃, a₄ + a₅, найдём сумму: 10 + 7 + 18 = 35.

Ответ: 35

Answer 2

Пусть $a$ и $b$ — это баллы за самые легкие задачи, а $c$ и $d$ — за самые трудные задачи. Также пусть $e$ — это балл за оставшуюся (среднюю по сложности) задачу.

Мы знаем, что за две самые легкие задачи Петя получил 10 баллов, то есть $a + b = 10$, и за две самые трудные задачи он получил 18 баллов, то есть $c + d = 18$.

Также Петя решил все пять задач, поэтому общая сумма его баллов равна $a + b + c + d + e$.

Мы можем представить общую сумму баллов по-другому, разбив её на две части:

$(a + b) + (c + d + e) = 10 + (c + d + e)$

Заметим, что $c + d + e$ — это общая сумма баллов за все задачи, кроме двух самых легких. Согласно условию, эта сумма равна 10. Подставляем:

$10 + (c + d + e) = 10 + 10 = 20$

Теперь мы знаем, что общая сумма баллов Пети за все задачи, кроме двух самых легких, равна 20.

Так как Петя решил все задачи, то общая сумма его баллов за все задачи равна:

$a + b + c + d + e = (a + b) + (c + d + e) = 10 + 20 = 30$

Петя получил 30 баллов за решение всех пяти задач.