Question

Докажите, что все касательные, проведённые к графику функции y=x-3/x-5 создают тупой угол с положительным направлением оси x

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим график функции y = f(x) = (x - 3) / (x - 5).

Чтобы определить угол между касательной и положительным направлением оси x, мы должны рассмотреть производную функции в точке касания.

Производная функции f(x) может быть найдена с помощью правила дифференцирования частного функций:

f'(x) = [(x - 5)(1) - (x - 3)(1)] / (x - 5)^2 = (x - 5 - x + 3) / (x - 5)^2 = -2 / (x - 5)^2

Заметим, что производная f'(x) является функцией только от x и не зависит от y.

Для определения угла между касательной и положительным направлением оси x, мы можем рассмотреть тангенс этого угла. Если тангенс отрицательный, то угол будет тупым.

Тангенс угла между касательной и положительным направлением оси x можно найти как:

tan(θ) = f'(x)

Для получения тупого угла нам нужно найти такие значения x, при которых f'(x) < 0.

Рассмотрим неравенство f'(x) < 0:

-2 / (x - 5)^2 < 0

Так как знаменатель (x - 5)^2 является квадратом, то он всегда положительный. Чтобы неравенство было выполнено, необходимо, чтобы числитель был отрицательным:

-2 < 0

Условие -2 < 0 всегда выполняется, исходя из свойств чисел.

Таким образом, мы доказали, что для функции y = f(x) = (x - 3) / (x - 5) все касательные, проведенные к её графику, создают тупой угол с положительным направлением оси x.