Question

Существует ли число, не содержащее в записи ни одного нуля и делящееся на 5^1987?

Answer 1

Ответ:

Существует

Пошаговое объяснение:

На самом деле такое число найдётся для любой натуральной степени $5^k$.

Я утверждаю, что для всех k найдётся число, состоящее из k цифр, не содержащее нулей в десятичной записи и делящееся на $5^k$.

Доказываем по индукции.

База индукции. Для k = 1 подходит $5^1=1$.

Индукционный переход. Пусть длина числа $n\cdot5^k$ равна k, десятичная запись этого числа не содержит нулей. Припишем к этому числу слева ненулевую цифру a и потребуем, чтобы получившееся число делилось на $5^{k+1}$.

Получившееся число равно $n\cdot5^k+a\cdot10^k=5^k(n+a\cdot2^k)$, оно будет делиться на $5^{k+1}$, если  делится на 5.

$2^k$ при делении на 5 может давать остатки 1, 2, 3 и 4; n может давать любые остатки от 0 до 4. Ниже в таблице я явно выписываю, какие можно взять a для каждой комбинации остатков. Например, если n даёт остаток 3 при делении на 5; $2^k$ даёт остаток 4 при делении на 2, то можно взять a = 3: тогда $n+a\cdot2^k$ даёт такой же остаток при делении на 5, что и $3+3\cdot4=15$.

Таким образом, если для k такое число найдётся, то и для k + 1, а значит, и для всех k, в том числе и для k = 1987.

Вот, например, числа, построенные для k от 1 до 20:

1. 5
2. 25
3. 125
4. 3125
5. 53125
6. 453125
7. 4453125
8. 14453125
9. 314453125
10. 2314453125
11. 22314453125
12. 122314453125
13. 4122314453125
14. 44122314453125
15. 444122314453125
16. 4444122314453125
17. 54444122314453125
18. 254444122314453125
19. 1254444122314453125
20. 21254444122314453125

Например, число 21254444122314453125 делится на $5^{20}$ и не содержит нулей :)

Answer 2

Да, существует такое число. Число 5^1987 состоит из 1987 цифр "5". Можно сконструировать число, состоящее только из цифр "1", которое делится на 5^1987.

Для этого рассмотрим число N, состоящее из 1987 единиц: N = 111...111 (1987 единиц). Тогда:

N = 111...111 (1987 единиц) N = (10^1987 - 1)/9

Мы знаем, что 10^k - 1 делится на k, если k делит 10. В данном случае 10 делится на 2 и 5, но так как число состоит только из единиц, то оно делится на 9.

Теперь докажем, что число N также делится на 5^1987:

5^1987 = (5^3)^662 * 5^1 = 125^662 * 5^1 = (100 + 25)^662 * 5^1 = 100k + 25 * 662 * 5 = 500k

Таким образом, 5^1987 делится на 500, и следовательно, N делится на 5^1987.

Итак, число N = 111...111 (1987 единиц) является числом, не содержащим нулей и делящимся на 5^1987.