Question

3. Игрок бросает мяч по корзине 4 раза, вероятность попадания с каждого броска -0,3. Найти ряд распределения, матожидание, построить функцию распределения числа попаданий.

Answer 1

Пусть случайная величина X - количество попаданий по корзине.

Случайная величина Х распределена по биномиальному закону

Всего испытаний n = 4, вероятность успеха в одном испытании равна p = 0.3 и q = 1 - p = 1 - 0.3 = 0.7

$P(X=0)=q^4=0.7^4=0.2401\\ P(X=1)=C^1_4pq^3=4\cdot 0.3\cdot 0.7^3=0.4116\\ P(X=2)=C^2_4p^2q^2=\dfrac{4!}{2!2!}\cdot 0.3^2\cdot 0.7^2=0.2646\\ P(X=3)=C^3_4p^3q=4\cdot 0.3^3\cdot 0.7=0.0756\\ P(X=4)=p^4=0.3^4=0.0081$

Т.е. случайная величина дискретна и ряд распределения:

$X\sim\begin{pmatrix}0&1&2&3&4\\ 0.2401&0.4116&0.2646&0.0756&0.0081\end{pmatrix}$

Математическое ожидание случайной величины X:

$MX=0\cdot 0.2401+1\cdot 0.4116+2\cdot0.2646+3\cdot0.0756+4\cdot0.0081=1.2$

Функция распределения:

$\displaystyle F(x)=\begin{cases}& \text{}0,~~ x\leq 0\\&\text{}0.24,~~ 0$

Answer 2

Для данной ситуации у нас есть биномиальное распределение, так как каждый бросок является независимым испытанием с фиксированной вероятностью успеха (попадания) и фиксированным числом испытаний (4 броска).

Пусть X - случайная величина, представляющая число попаданий из 4 бросков. Вероятность успеха (попадания) в одном броске p = 0.3, а число испытаний n = 4.

1. Ряд распределения: Для биномиального распределения вероятность того, что случайная величина X примет значение k, определяется формулой:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

где C(n, k) - число сочетаний из n по k, p - вероятность попадания в одном испытании, (1 - p) - вероятность неудачи в одном испытании.

Теперь рассчитаем вероятность для всех возможных значений k (от 0 до 4):

P(X = 0) = C(4, 0) * (0.3)^0 * (1 - 0.3)^(4 - 0) = 1 * 1 * 0.7^4 ≈ 0.2401 P(X = 1) = C(4, 1) * (0.3)^1 * (1 - 0.3)^(4 - 1) = 4 * 0.3 * 0.7^3 ≈ 0.4116 P(X = 2) = C(4, 2) * (0.3)^2 * (1 - 0.3)^(4 - 2) = 6 * 0.3^2 * 0.7^2 ≈ 0.2646 P(X = 3) = C(4, 3) * (0.3)^3 * (1 - 0.3)^(4 - 3) = 4 * 0.3^3 * 0.7^1 ≈ 0.0756 P(X = 4) = C(4, 4) * (0.3)^4 * (1 - 0.3)^(4 - 4) = 1 * 0.3^4 * 0.7^0 = 0.0081

Таким образом, ряд распределения будет следующим: X = 0, P(X = 0) ≈ 0.2401 X = 1, P(X = 1) ≈ 0.4116 X = 2, P(X = 2) ≈ 0.2646 X = 3, P(X = 3) ≈ 0.0756 X = 4, P(X = 4) = 0.0081

2. Математическое ожидание (ожидаемое количество попаданий): Математическое ожидание (среднее значение) для биномиального распределения вычисляется по формуле:

E(X) = n * p

где n - число испытаний, p - вероятность успеха в одном испытании.

E(X) = 4 * 0.3 = 1.2

Таким образом, математическое ожидание (ожидаемое количество попаданий) равно 1.2.

3. Функция распределения числа попаданий (CDF): Функция распределения показывает вероятность того, что случайная величина X примет значение не более k. Для биномиального распределения CDF можно вычислить суммируя вероятности от 0 до k.

CDF(X ≤ k) = Σ P(X = i) для i от 0 до k

Теперь рассчитаем CDF для каждого значения k:

CDF(X ≤ 0) = P(X = 0) ≈ 0.2401 CDF(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) ≈ 0.2401 + 0.4116 ≈ 0.6517 CDF(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ≈ 0.2401 + 0.4116 + 0.2646 ≈ 0.9163 CDF(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) ≈ 0.2401 + 0.4116 + 0.2646 + 0.0756 ≈ 0.9919 CDF(X ≤ 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) ≈ 0.2401 + 0.4116 + 0.2646 + 0.0756 + 0.0081 ≈ 1.0

Таким образом, функция распределения числа попаданий будет следующей: CDF(X ≤ 0) ≈ 0.2401 CDF(X ≤ 1) ≈ 0.6517 CDF(X ≤ 2) ≈ 0.9163 CDF(X ≤ 3) ≈ 0.9919 CDF(X ≤ 4) ≈ 1.0