Question

98 баллов! Заранее спасибо! а). Представьте число 100 в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим. И докажите, что большее произведение получить нельзя. б). Перемножили три тысячи двоек. Докажите, что в записи получившегося числа: не более 1000 цифр и не менее 900 цифр.

Answer 1

а)Пусть $\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}=100$, при этом $\prod\limits_{i=1}^{n}a_{i}=P\leq \frac{(\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i})^{n}}{n^{n}}=\frac{100^n}{n}$; Пусть $f(x)=\frac{100^x}{x^x}$, тогда $f'(x)=2\ln(10)100^x-100^x-100^x\ln(x)$; Экстремум находится в точке $x=\frac{100}{e}$; $\frac{100}{e}\approx36,8$; Поэтому при $n=37$ достигается максимум, т.е. 100 должно быть представлено в виде 37-ми слагаемых. А, значит, каждое из слагаемых либо 3, либо 2. Значит, искомое произведение есть число вида $3^m\times 2^n,\; 3m+2n\leq 100$. $p=3^m\times 2^\frac{100-3m}{2}=2^{50}\times (\frac{3}{2\sqrt{2}})^{m}$, поэтому чем больше m, тем лучше (возраст. функция). Стало быть, m=32, а искомый набор: $\{2, 2,\;3,...,\;3\}$ - 32 тройки и две двойки.

б) Нужно доказать неравенства: $10^{899}\leq 2^{3000}\leq 10^{999}$

Покажем справедливость первого:  $2^{3000}>10^{900} \Leftrightarrow 2^{10}>10^{3}\; \checkmark$

Теперь второго: $2^{3000}$

Answer 2

а). Чтобы представить число 100 в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим, мы можем использовать только два числа: 50 и 50.

Пусть представление числа 100 в виде суммы двух чисел будет иметь вид: 100 = x + y, где x и y - натуральные числа. Теперь рассмотрим их произведение: P = x * y.

Мы хотим найти максимальное значение P. Заметим, что в этом случае, чтобы получить наибольшее произведение, x и y должны быть равны между собой, т.е. x = y. Иначе, если одно из чисел меньше другого, произведение будет меньше, чем когда оба числа равны.

Таким образом, чтобы получить наибольшее произведение, представление числа 100 в виде суммы будет: 100 = 50 + 50, и произведение будет P = 50 * 50 = 2500.

Докажем, что нельзя получить большее произведение:

Предположим, что можно представить число 100 в виде суммы нескольких натуральных чисел, таких как 100 = a + b + c + ... + z и их произведение будет больше 2500.

Но если представить число 100 в виде такой суммы, то среди этих чисел должно быть хотя бы одно число, которое больше или равно 50, иначе их сумма не достигнет 100.

Пусть это число - M (M >= 50), тогда M умноженное на какое-то число из представления, скажем, L, даст произведение, большее чем 2500, то есть M * L > 2500.

Теперь заметим, что мы можем заменить пару чисел (M и L) на пару чисел (50 и M + L - 50) с сохранением суммы 100:

M + (M + L - 50) = 2M + L - 50 = M + L + (M - 50) > M + L

Таким образом, мы получили новое представление числа 100, в котором произведение будет больше M * L, что противоречит предположению о максимальности произведения. Это означает, что представление числа 100 в виде суммы нескольких натуральных чисел с произведением больше 2500 невозможно.

б). Перемножим три тысячи двоек:

Три тысячи двоек представимы как 2^3000. Чтобы определить, сколько цифр содержит данное число, воспользуемся формулой:

Количество цифр в числе n = floor(log10(n)) + 1.

Для нашего случая:

Количество цифр в числе 2^3000 = floor(log10(2^3000)) + 1 = floor(3000 * log10(2)) + 1 ≈ 903.

Таким образом, результат перемножения трех тысяч двоек содержит не менее 903 цифр.