Question

Существует ли натуральное число n>1, для которого число 1…19…98…86…6, где каждая цифра встречается n раз, делится на 1987?

Answer 1

Лемма: существует такое y-значное число вида XX...X (т.е. состоит из целиком из цифр X) такое, что оно делится на число 1987

Доказательство: число указанного вида можно представить в виде

$x\times\frac{10^{n+1}-1}{9}$; Сперва очевидно, что $10^{n+1}-1$ делится на 9. Согласно малой теореме Ферма $10^{1987-1}-1\equiv0 \mod 1987$, так как 1987 - число простое. Так как 9 и 1987 взаимно просты, то число XX...X делится на 1987 для n+1=1986, т.е. для n=1985.$\square$

Итак, взяв например n=1985 получим число 1...19...98...86...6, которое раскладывается как $1...1\times 10^{3n}+9...9\times10^{2n}+8...8\times10^{n}+6...6$, где каждое из чисел вида X...X делится на 1987

Answer 2

Давайте рассмотрим число 1…19…98…86…6, где каждая цифра встречается n раз.

Обозначим это число как X:

X = 111...1999...9888...866...6

Чтобы определить, делится ли X на 1987, нужно проверить, делится ли X на каждый из множителей 1987. 1987 - это простое число, поэтому нам нужно проверить деление только на 1987.

1987 не делится на 2, 3, 5 или 7. Попробуем деление на 1987:

111...1999...9888...866...6 / 1987

Теперь обратим внимание на значение 1987. Какое-либо число, состоящее из цифр 1, 9 и 8, кратное 1987, должно иметь сумму своих цифр, кратную 1987. Однако сумма цифр X равна:

Сумма цифр X = 1n + 9n + 8n + 8n + 6n + 6 = 32n + 6.

Значит, чтобы число X было кратным 1987, 32n + 6 должно быть кратным 1987.

Однако 32n + 6 никогда не будет кратным 1987, так как 32n не может быть кратным 1987, а добавление 6 не изменит этого факта.

Таким образом, число X никогда не будет кратным 1987 для любого натурального числа n>1.