Question

Y'=xy+x ну или же y'=x(y+1) Помогите с решением, объясните, если не сложноОтвет нашёл, но не совсем пойму как к нему прийти

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Уравнение с разделяющимися переменными, так как производная после преобразования равна произведению двух функций, одна из которых зависит только от "х" ( это сам "х" ), а вторая - только от "у" ( это функция (у+1) ).

$y'=xy+x\\\\y'=x(y+1)\\\\\frac{dy}{dx}=x(y+1)\\\\\frac{dy}{y+1}=x\, dx\\\\\int \frac{dy}{y+1}=\int x\, dx\\\\ln|y+1|=\frac{x^2}{2}+C$

Или:  

        $ln|y+1|=\frac{x^2}{2}+ln|C|\\\\ln|y+1|-ln|C|=\frac{x^2}{2}\qquad \Big [\; lnA-lnB=ln\frac{A}{B}\; \Big ]\\\\ln\frac{y+1}{C}=\frac{x^2}{2}\qquad \Big [\; lnA=B\; \; \to \; \; A=e^{B}\; \Big ]\\\\\frac{y+1}{C}=e^{\frac{x^2}{2}}\\\\y+1=C\cdot e^{\frac{x^2}{2}}\\\\y=C\cdot e^{\frac{x^2}{2}}-1$

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение y' = xy + x или y' = x(y + 1) и найдем его общее решение.

Это уравнение относится к уравнениям первого порядка и можно решить его методом разделяющихся переменных.

Шаг 1: Перепишем уравнение в разделяющемся виде: Если у нас уравнение y' = xy + x, то можно вынести x за скобку: y' = x(y + 1)

Шаг 2: Разделим уравнение на (y + 1), чтобы переместить y и y' на разные стороны уравнения: 1/(y + 1) dy = x dx

Шаг 3: Проинтегрируем обе стороны уравнения: ∫(1/(y + 1)) dy = ∫x dx

Шаг 4: Проинтегрируем каждую сторону отдельно: ln|y + 1| = (x^2)/2 + C1

где C1 - постоянная интегрирования.

Шаг 5: Используем свойство логарифма, чтобы избавиться от логарифма: |y + 1| = e^((x^2)/2 + C1)

Шаг 6: Учитывая абсолютное значение, разделим решение на два случая:

6.1. y + 1 > 0: y + 1 = e^((x^2)/2 + C1)

6.2. y + 1 < 0: -(y + 1) = e^((x^2)/2 + C1)

Шаг 7: Решим каждый из случаев для y:

6.1. y + 1 = e^((x^2)/2 + C1) y = e^((x^2)/2 + C1) - 1

6.2. -(y + 1) = e^((x^2)/2 + C1) y = -e^((x^2)/2 + C1) - 1

Общее решение уравнения y' = xy + x или y' = x(y + 1) имеет два варианта:

1. y = e^((x^2)/2 + C1) - 1
2. y = -e^((x^2)/2 + C1) - 1

Где C1 - произвольная постоянная, которую можно определить, если заданы начальные условия (например, значение y в точке x = 0).