Question

Найти 4^x+4^-x если 2^x+2^-x=7Срочно помогите пожалуйста

Answer 1

$4^x+4^{-x}=2^{2x}+2^{-2x}+2\cdot 2^{2x}\cdot 2^{-2x}-2\cdot 2^{2x}\cdot 2^{-2x}=\\ \\ \\ =(2^x+2^{-x})^2-2=7^2-2=49-2=47$

Ответ: 47

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся заменой переменной. Обозначим $2^x$ за $a$. Тогда уравнение $2^x+2^{-x}=7$ можно переписать как $a + \frac{1}{a} = 7$.

Теперь рассмотрим выражение $4^x+4^{-x}$. Заметим, что $(2^x)^2 = 2^{2x}$, и заменим $2^x$ на $a$ в данном выражении. Получим:

$(2^x)^2 + (2^{-x})^2 = a^2 + \frac{1}{a^2}$.

Нам нужно найти значение этого выражения. Ранее мы заметили, что $a + \frac{1}{a} = 7$, поэтому можно записать:

$a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2$.

Подставляя значение $a + \frac{1}{a}$, получаем:

$a^2 + \frac{1}{a^2} = 7^2 - 2 = 47$.

Таким образом, $4^x+4^{-x} = 47$.

Ответ: $47$.