Question

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Найти общее решение уравнения. y'' + 2y' + y = x^2 + 4

Answer 1

Ответ:

y = C1 e‾ᵡ + C2 x e‾ᵡ + x^2 -4x +10

Пошаговое объяснение:

y'' + 2y' + y = x^2 + 4

однородное уравнение имеет вид

y'' + 2y' + y = 0

составим соответствующее характеристическое уравнение

k^2 + 2k + 1 = 0

(k+1)^2 = 0

k+1 =0 ----> k1,2 = -1

имеем два действительных кратных корня

Общее решение однородного уравнения

yo = C1 e‾ᵡ + C2 x e‾ᵡ

Частное решение ищем в виде

yч = Ax^3 +Bx^2 +Cx +D

находим производные

yч' = (Ax^3 +Bx^2 +Cx +D)' =3Ax^2 +2Bx +C

yч" = (3Ax^2 +2Bx +C)' = 6Ax +2B

подставляем в исходное уравнение

yч'' + 2yч' + yч = 6Ax +2B + 2 (3Ax^2 +2Bx +C) + Ax^3 +Bx^2 +Cx +D =

                         = Ax^3 +(6A+B)x^2 + (6A+4B+C)x + (2B+2C+D) = x^2 +4

Решаем систему из соответствующих коэффициентов

x^3: A = 0

x^2: 6A+B = 1; B = 1-6A = 1-6*0 = 1

x^1: 6A+4B+C = 0; C = -6A -4B = -6*0 -4*1 = -4

x^0: 2B+2C+D = 4; D = -2B -2C = 4 -2*1 -2*(-4) =10

Частное решение имеет вид

yч = 0*x^3 + 1*x^2 -4x +10  = x^2 -4x +10

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

y = yo + yч = C1 e‾ᵡ + C2 x e‾ᵡ + x^2 -4x +10

Answer 2

Найдем начала общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения

$y''+2y'+y=0$                                                           (*)

Воспользовавшись заменой Эйлера $y=e^{kx}$, мы получим характеристическое уравнение

$k^2+2k+1=0\\ (k+1)^2=0\\ k=-1$

Общее решение уравнения (*)

     $\overline{y}=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}=e^{-x}(C_1+C_2x)$

Далее нужно найти частное решение. Рассмотрим функцию:

$f(x)=x^2+4=e^{0x}(x^2+4)$

Здесь $\alpha=0;~ P_n(x)=x^2+4~~~\Rightarrow~~~ n=2$

Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимая, что $n=2$ частное решение будем искать в виде

$y^*=Ax^2+Bx+C$

$y'=(Ax^2+Bx+C)'=2Ax+B\\ y''=(2Ax+B)'=2A$

Подставляем все это в исходное дифференциальное уравнение

$2A+2(2Ax+B)+Ax^2+Bx+C=x^2+4\\ 2A+4Ax+2B+Ax^2+Bx+C=x^2+4\\ Ax^2+(4A+B)x+2A+2B+C=x^2+4$

Приравниваем коэффициенты при степени x

$\begin{cases}&\text{}A=1\\&\text{}4A+B=0\\&\text{}2A+2B+C=4\end{cases}~~~~\Rightarrow~~~\begin{cases}&\text{}A=1\\&\text{}B=-4\\&\text{}C=10\end{cases}$

Частное решение:  $y^*=x^2-4x+10$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

$y=\overline{y}+y^*=e^{-x}(C_1+C_2x)+x^2-4x+10$

Answer 3

Для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью, вам следует использовать метод вариации постоянных (метод Лагранжа).

Общий вид неоднородного уравнения выглядит следующим образом: $y'' + ay' + by = f(x),$

где $a$ и $b$ - постоянные коэффициенты, а $f(x)$ - правая часть уравнения.

Шаги для нахождения общего решения:

1. Найдите общее решение соответствующего однородного уравнения: $y'' + ay' + by = 0.$ Пусть общее решение однородного уравнения будет иметь вид: $y_h(x) = e^{mx},$ где $m$ - неизвестная константа.