Question

Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти общее решение. 2y'' -y' -y = 4e^(-x/2)

Answer 1

Для начала нужно решить соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение, выполнив замену $y=e^{kx}$.

$k_1=-\frac{1}{2}\\ k_2=1$

Общее решение однородного диф. уравнения: $\overline{y}=C_1e^{-\frac{x}{2}}+C_2e^x$.

Рассмотрим функцию $f(x)=4e^{-\frac{x}{2}}$. Здесь $P_n(x)=4$, где $n=0$, $\alpha =-\frac{1}{2}.$ Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения и принимая во внимая, что

$y^*=Axe^{-\frac{x}{2}}$

Определим первые две производные функции частного решения и подставляем в исходное дифференциальное уравнение одновременно разделив обе части на $e^{-\frac{x}{2}}$.

$y'=(Axe^{-\frac{x}{2}})'=Ae^{-\frac{x}{2}}-\frac{Ax}{2}e^{-\frac{x}{2}}$

$y''=(Ae^{-\frac{x}{2}}-\frac{Ax}{2}e^{-\frac{x}{2}})=-\frac{A}{2}e^{-\frac{x}{2}}-\frac{A}{2}e^{-\frac{x}{2}}+\frac{Ax}{4}e^{-\frac{x}{2}}=-Ae^{-\frac{x}{2}}+\frac{Ax}{2}e^{-\frac{x}{2}}$

$2(-A+\frac{Ax}{2})-(A-\frac{Ax}{2})=4\\ \\ -2A+Ax-A+\frac{Ax}{2}=4\\ \\ -6A+3Ax=8$

Приравниваем коэффициенты при степенях x

$-6A=8~~\Rightarrow~~ A=-\frac{4}{3}$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения ищем как сумму общего однородного диф. уравнения и частного решения

$y=\overline{y}+y^*=C_1e^{-\frac{x}{2}}+C_2e^x-\frac{4}{3}xe^{-\frac{x}{2}}$

Answer 2

Данное линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами можно решить с помощью метода вариации постоянных. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Уравнение: 2y'' - y' - y = 0

Характеристическое уравнение: 2r^2 - r - 1 = 0

Мы решаем характеристическое уравнение, находим два корня r1 и r2:

r1 = 1 r2 = -0.5

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h(x) = c1 * e^x + c2 * e^(-0.5x)

Теперь воспользуемся методом вариации постоянных для нахождения частного решения неоднородного уравнения:

Ищем частное решение в виде y_p(x) = A(x) * e^(-x/2), где A(x) - функция, которую нужно найти.

Вычислим производные: y_p'(x) = A'(x) * e^(-x/2) - (1/2) * A(x) * e^(-x/2) y_p''(x) = A''(x) * e^(-x/2) - A'(x) * (1/2) * e^(-x/2) - (1/4) * A(x) * e^(-x/2)

Подставляем производные в исходное уравнение: 2y_p'' - y_p' - y_p = 4e^(-x/2)

Получаем: 2A''(x) * e^(-x/2) - A'(x) * (1/2) * e^(-x/2) - (1/4) * A(x) * e^(-x/2) - A'(x) * e^(-x/2) + (1/2) * A(x) * e^(-x/2) - A(x) * e^(-x/2) = 4e^(-x/2)

Упрощаем: 2A''(x) - (5/4) * A'(x) = 4

Решаем это дифференциальное уравнение для функции A(x). После нахождения A(x), частное решение y_p(x) будет иметь вид:

y_p(x) = A(x) * e^(-x/2)

Сложим общее решение однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x)

где y_h(x) = c1 * e^x + c2 * e^(-0.5x) и y_p(x) - найденное частное решение.