Question

Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти общее решение. y''-2y'+5y=e^xcos2x

Answer 1

Ответ:

на фото

Пошаговое объяснение:

там где три точки стоят, я y~ и его производные подставила в НЛДУ и сокращала все на черновике, а то слишком много расписывать :)

Answer 2

Для решения данного линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, мы сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения, а затем применим метод вариации постоянных для нахождения частного решения неоднородного уравнения.

Исходное уравнение: $y'' - 2y' + 5y = e^x \cos(2x)$

1. Однородное уравнение: Сначала найдем общее решение однородного уравнения: $y'' - 2y' + 5y = 0.$

Характеристическое уравнение этого однородного уравнения: $r^2 - 2r + 5 = 0.$

Решим характеристическое уравнение для нахождения корней $r$: $r = \frac{2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = 1 \pm 2i.$

Корни комплексные: $r_1 = 1 + 2i$ и $r_2 = 1 - 2i$. Обозначим их как $r_1 = \alpha + \beta i$ и $r_2 = \alpha - \beta i$, где $\alpha = 1$ и $\beta = 2$.

Тогда общее решение однородного уравнения: $y_h(x) = e^{\alpha x} (A \cos(\beta x) + B \sin(\beta x)),$ где $A$ и $B$ - произвольные постоянные.

2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения: Теперь используем метод вариации постоянных для нахождения частного решения неоднородного уравнения.

Предположим, что частное решение имеет вид: $y_p(x) = e^x (C \cos(2x) + D \sin(2x)),$ где $C$ и $D$ - функции, которые нужно найти.

Вычислим производные: $y_p'(x) = e^x ((C' - 2C) \cos(2x) + (D' + 2D) \sin(2x)),$ $y_p''(x) = e^x ((C'' - 4C) \cos(2x) + (D'' + 4D) \sin(2x)).$

Подставим эти производные в исходное уравнение: $e^x ((C'' - 4C) \cos(2x) + (D'' + 4D) \sin(2x)) - 2 e^x ((C' - 2C) \cos(2x) + (D' + 2D) \sin(2x)) + 5 e^x (C \cos(2x) + D \sin(2x)) = e^x \cos(2x).$

Упростим уравнение, деля обе стороны на $e^x$: $(C'' - 4C - 2C' + 4C) \cos(2x) + (D'' + 4D + 2D' + 2D) \sin(2x) = \cos(2x).$

Так как левая часть имеет вид $\cos(2x)$ и $\sin(2x)$, то равенство возможно, если: $C'' - 2C' + 5C = 0,$ $D'' + 2D' + 5D = 1.$