Question

По кругу расставлены 150 чисел. Самое большое из них равно 150. Известно, что каждое число равно полусумме своих соседей. Найдите наименьшее число в круге. Помогите пожалуйста

Answer 1

По кругу расставлены 150 чисел. Каждое из чисел равно 150. Т.е. они равны. Почему?

Так как 150=(х+у)/2, х+у=300, где х и у соседние числа, и сказано, что 150 наибольшее, то суммы 1+299, 2+298,...151+149 нам не подходят, единственная пара, которая нам подходит, это 150+150. Наибольшее число 150 будет и наименьшим.

Answer 2

Ответ:

Наименьшее число - это 1

Answer 3

Давайте рассмотрим данную задачу.

Пусть у нас есть круг из 150 чисел, обозначим их как a₁, a₂, ..., a₅₀, a₅₁, ..., a₁₄₉, a₁₅₀. Согласно условию, каждое число равно полусумме своих соседей. То есть:

a₁ = (a₅₀ + a₂) / 2 a₂ = (a₁ + a₃) / 2 a₃ = (a₂ + a₄) / 2 ... a₄₉ = (a₄₈ + a₁₅₀) / 2 a₁₅₀ = (a₁₄₉ + a₁) / 2

Также нам известно, что самое большое число равно 150:

a₁₅₀ = 150

Теперь, чтобы найти наименьшее число в круге, давайте предположим, что это число находится между a₁ и a₂ (так как каждое число равно полусумме своих соседей, наименьшее число будет находиться между самым большим и наибольшим числами).

Пусть наименьшее число обозначается как x, тогда:

a₁ < x < a₂

Подставим значения a₁ и a₂:

(a₅₀ + a₂) / 2 < x < (a₁ + a₃) / 2

Теперь подставим значения a₅₀ и a₁ из условия:

(150 + a₂) / 2 < x < (a₁ + a₃) / 2

Также у нас есть условие для a₁ и a₃:

a₁ = (a₅₀ + a₂) / 2 a₃ = (a₂ + a₄) / 2

Теперь заменим a₁ и a₃ в предыдущем неравенстве:

(150 + a₂) / 2 < x < ((a₅₀ + a₂) / 2 + (a₂ + a₄) / 2) / 2

Упростим выражение:

(150 + a₂) / 2 < x < (a₅₀ + 2 * a₂ + a₄) / 4

Теперь рассмотрим неравенство для a₁₄₉ и a₁:

(a₁₄₉ + a₁) / 2 < x < (a₁₄₉ + a₁ + a₁) / 4

Упростим выражение:

(a₁₄₉ + a₁) / 2 < x < (a₁₄₉ + a₁) / 2

Так как мы знаем, что a₁₅₀ = 150, то a₁₄₉ = a₁₅₀, а a₁ = a₁₅₀ / 2:

(a₁₅₀ + a₁₅₀ / 2) / 2 < x < (a₁₅₀ + a₁₅₀ / 2) / 2

Упростим выражение:

(150 + 75) / 2 < x < (150 + 75) / 2

Теперь можем найти наименьшее число x:

(225) / 2 < x < (225) / 2

112.5 < x < 112.5

Таким образом, наименьшее число в круге равно 112.5. Однако, поскольку в данной задаче числа предполагаются целыми, наименьшее целое число, удовлетворяющее условиям, будет равно 113.