Question

В первом сундуке лежит 111 монет, во втором — 222 монеты, в третьем — 333 монеты, а в четвертом — 444 монеты. Иван-дурак может взять из любого сундука 3 монеты и разложить по одной монете в оставшиеся сундуки. Эту операцию он может повторить сколь угодно много раз. в любой момент Иван может забрать все монеты из одного сундука. Какое наибольшее количество монет он может себе обеспечить?

Answer 1

Ответ:

1107

Пошаговое объяснение:

т.к. у нас два сундук с четным количеством монет и два с нечетным, а за операцию каждый сундук меняет свою четность, то всегда будет два "нечетных" сундука

так как на одной итерации мы добавляем в три из четырех сундуков монеты, то только в одном сундуке мы можем добиться 0

значит, с учетом двух утверждений картина с наибольшим количеством монет могла выглядеть следующим образом: 0 1 1 1108

на предыдущем шаге должно было быть 3 0 0 1107 - но такого быть не могло, согласно утверждениям выше

следующий вариант, где монет меньше, чем 1108, это 1107

этого варианта достичь можно, пользуясь следующим алгоритмом:

четвертый сундук не трогаем, а с остальными повторяем следующую операцию:

• берем сундук с наибольшим количеством монет и проводим операцию столько раз, сколько нужно, чтобы в сундуке осталось меньше трех монет

выглядит это так:

111 222 333 444

222 333 0 555

333 0 111 666

0 111 222 777

74 185 0 851

135 2 61 912

0 47 106 957

35 82 1 992

62 1 28 1019

2 21 48 1039

18 37 0 1055

30 1 12 1067

0 11 22 1077

7 18 1 1084

13 0 7 1090

1 4 11 1094

4 7 2 1097

6 1 4 1099

0 3 6 1101

2 5 0 1103

3 2 1 1104

0 3 2 1105

1 0 3 1106

2 1 0 1107

и он возьмет себе 1107 монет

Answer 2

Давайте посчитаем количество монет, которое Иван-дурак может себе обеспечить, выполняя описанную операцию.

1. Взять 3 монеты из четвертого сундука и разложить по одной монете в каждый из оставшихся трех сундуков:

   • Первый сундук: 111 + 1 = 112 монет
   • Второй сундук: 222 + 1 = 223 монет
   • Третий сундук: 333 + 1 = 334 монет
   • Четвертый сундук: 444 - 3 = 441 монет

2. Взять 3 монеты из четвертого сундука и разложить по одной монете в каждый из оставшихся трех сундуков:

   • Первый сундук: 112 + 1 = 113 монет
   • Второй сундук: 223 + 1 = 224 монет
   • Третий сундук: 334 + 1 = 335 монет
   • Четвертый сундук: 441 - 3 = 438 монет

3. Взять 3 монеты из третьего сундука и разложить по одной монете в каждый из оставшихся трех сундуков:

   • Первый сундук: 113 + 1 = 114 монет
   • Второй сундук: 224 + 1 = 225 монет
   • Третий сундук: 335 - 3 = 332 монет
   • Четвертый сундук: 438 + 1 = 439 монет

4. Взять 3 монеты из второго сундука и разложить по одной монете в каждый из оставшихся трех сундуков:

   • Первый сундук: 114 + 1 = 115 монет
   • Второй сундук: 225 - 3 = 222 монет
   • Третий сундук: 332 + 1 = 333 монет
   • Четвертый сундук: 439 + 1 = 440 монет

Мы видим, что после выполнения одной итерации операции, количество монет в каждом сундуке повторяется в точности таким же образом, как и изначально, только каждое значение уменьшается на 3 монеты. Таким образом, процесс будет повторяться бесконечно, но количество монет в каждом сундуке будет уменьшаться на 3 монеты после каждой операции.

Теперь определим, сколько раз Иван может выполнить операцию, прежде чем количество монет в одном из сундуков станет равным 0:

Четвертый сундук: 444, 441, 438, 435, ..., 3, 0 (13 операций)

Итак, Иван может выполнить операцию 13 раз, после чего у него останется 3 монеты в четвертом сундуке. В остальных сундуках останется также по 3 монеты (так как операция повторяется циклически). Теперь он может взять все монеты из четвертого сундука:

1. Первый сундук: 115 + 3 = 118 монет
2. Второй сундук: 222 + 3 = 225 монет
3. Третий сундук: 333 + 3 = 336 монет
4. Четвертый сундук: 3 (взял все монеты)

Итак, наибольшее количество монет, которое Иван-дурак может себе обеспечить, равно 336 монетам.