Question

1) Укажите область определения функции y=arcsin\frac{2x}{1+x} 2)Произведение односторонних пределов функции f(x)=\frac{sinx}{|x|} , в точке x = 0

Answer 1

Ответ:

1)

Область определения функции y=\arcsin x : D(y)=[-1;1]

arcsin(2x) = y ⇒ sin(y) = 2x - имеет смысл тогда, когда

-1 ≤ 2x ≤ 1

-0.5 ≤ x ≤ 0.5

Ответ: D(y)=[-0.5; 0.5].

2)

Пошаговое объяснение:

Answer 2

1. Область определения функции y = arcsin(2x / (1 + x)):

Функция arcsin(x) определена только в интервале [-1, 1], так как арксинус от числа x имеет смысл только тогда, когда -1 <= x <= 1. При этом в знаменателе у нашей функции есть выражение (1 + x), которое не должно быть равно нулю, так как деление на ноль не определено.

Итак, чтобы определить область определения функции y = arcsin(2x / (1 + x)), необходимо рассмотреть два условия:

1. -1 <= (2x / (1 + x)) <= 1 - это условие, чтобы аргумент арксинуса был в пределах [-1, 1].
2. (1 + x) ≠ 0 - это условие, чтобы знаменатель не был равен нулю.

Решим первое условие:

-1 <= (2x / (1 + x)) <= 1

Для удобства, разделим на 2:

-1/2 <= (x / (1 + x)) <= 1/2

Теперь решим второе условие:

(1 + x) ≠ 0

x ≠ -1

Таким образом, область определения функции y = arcsin(2x / (1 + x)) - это множество всех допустимых значений переменной x, которые удовлетворяют обоим условиям:

Область определения: x ∈ (-∞, -1) ∪ (-1, ∞).

2. Произведение односторонних пределов функции f(x) = sin(x) / |x|, в точке x = 0:

Для нахождения произведения односторонних пределов функции f(x) при x стремящемся к 0, рассмотрим левосторонний предел (x → 0-) и правосторонний предел (x → 0+).

Левосторонний предел (x → 0-):

f(x) = sin(x) / |x|

Подставим x = 0-:

f(0-) = sin(0-) / |0-|

Так как sin(0-) = 0 и |0-| = 0, получаем:

f(0-) = 0 / 0

Это неопределенная форма. Для решения таких неопределенностей можно воспользоваться правилом Лопиталя:

lim (x → 0-) [sin(x) / |x|] = lim (x → 0-) [cos(x) / (-x)]

Теперь подставим x = 0-:

lim (x → 0-) [cos(x) / (-x)] = cos(0) / 0

cos(0) = 1, а 1 / 0 = ∞ (бесконечность)

Таким образом, левосторонний предел равен бесконечности (плюс бесконечность).

Правосторонний предел (x → 0+):

f(x) = sin(x) / |x|

Подставим x = 0+:

f(0+) = sin(0+) / |0+|

Так как sin(0+) = 0 и |0+| = 0, получаем:

f(0+) = 0 / 0

Используем правило Лопиталя:

lim (x → 0+) [sin(x) / |x|] = lim (x → 0+) [cos(x) / x]

Теперь подставим x = 0+:

lim (x → 0+) [cos(x) / x] = cos(0) / 0

Аналогично левостороннему пределу, получаем:

cos(0) = 1, а 1 / 0 = ∞ (бесконечность)

Таким образом, правосторонний предел также равен бесконечности (плюс бесконечность).

Итак, произведение односторонних пределов функции f(x) = sin(x) / |x|, в точке x = 0, равно плюс бесконечности.