Question

Как посчитать производную (tan x)^x Покажите подробнее пожалуйста

Answer 1

я написал решение на листочке ===>>

Answer 2

Чтобы вычислить производную функции $f(x) = (\tan x)^x$, мы воспользуемся правилом производной для функции вида $f(x) = u(x)^{v(x)}$, где $u(x)$ и $v(x)$ являются функциями от $x$. Формула для такой производной выглядит следующим образом:

$f'(x) = u(x)^{v(x)} \cdot \left(v(x) \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} + \ln(u(x)) \cdot v'(x)\right)$

Применяя это правило к нашей функции $f(x) = (\tan x)^x$, мы получаем:

$f'(x) = (\tan x)^x \cdot \left(x \cdot \frac{\sec^2 x}{\tan x} + \ln(\tan x) \cdot 1\right)$

Раскроем $\sec^2 x$ и заменим $\frac{1}{\cos^2 x}$ на $\tan^2 x + 1$:

$f'(x) = (\tan x)^x \cdot \left(x \cdot \frac{\tan^2 x + 1}{\tan x} + \ln(\tan x)\right)$

Упростим выражение:

$f'(x) = (\tan x)^x \cdot \left(x \cdot (\tan x + \frac{1}{\tan x}) + \ln(\tan x)\right)$

Таким образом, производная функции $f(x) = (\tan x)^x$ равна $f'(x) = (\tan x)^x \cdot \left(x \cdot (\tan x + \frac{1}{\tan x}) + \ln(\tan x)\right)$.