Question

Те кто знаком с темой , помогите пожалуйста с решением (подробно) lim стремится к бесконечности (sin(5x)+tan(3x)) ответ : 5 ​

Answer 1

Рассмотрим функцию sin(5x) + tan(3x)

При стремлении аргумента к точкам вида pi/2 + pi*k слева значение функции стремится к +inf.

Таким образом, предел функции не может являться конечной константой (не выполнено определение по Гейне). Это можно показать, рассмотрев последовательность аргуметов pi/2 - 1/k + pi*k. При последовательности, сходящейся к +inf значения функции не сходятся к константе => нарушено опр. по Гейне.

Аналогично можем предъявить последовательности:

1) pi/2 - 1/k + pi*k => по отрицанию Гейне показываем, что -inf не является пределом, ведь на этой последовательности аргументов значения функции бесконечно возрастают.

2) pi/2 + 1/k + pi*k => по аналогии с предыдущим, +inf не является пределом.

Ответ: предела функции при x->inf не существует

Answer 2

Решение:

Для решения данной задачи, мы должны найти предел функции lim при *x* стремящемся к бесконечности для функции *(sin(5x) + tan(3x))*.

Для начала, давайте рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

sin(5x):

Функция синуса *(sin)* - это тригонометрическая функция, которая принимает угол в радианах и возвращает соответствующее значение синуса. В данном случае, мы умножаем *x* на 5, что означает, что угол в радианах будет умножен на 5.

tan(3x):

Функция тангенса *(tan)* - это также тригонометрическая функция, которая принимает угол в радианах и возвращает соответствующее значение тангенса. В данном случае, мы умножаем *x* на 3, что означает, что угол в радианах будет умножен на 3.

Теперь, объединим оба слагаемых - *(sin(5x) + tan(3x))*:

Мы собираемся рассмотреть предел данной функции, когда *x* стремится к бесконечности. Для этого, мы можем разделить каждое слагаемое на *x* и вынести его за скобку:

*(sin(5x) + tan(3x)) / x*

Теперь, рассмотрим предел данного выражения при *x* стремящемся к бесконечности:

lim(x->∞) ((sin(5x) + tan(3x)) / x)

Для решения этого предела, нам понадобится использовать тригонометрические свойства и правило Лопиталя (правило о неопределенностях), которое позволяет нам вычислить предел, когда и числитель, и знаменатель функции стремятся к нулю или бесконечности.

В данном случае, мы можем применить правило Лопиталя, применив его дважды, так как как числитель и знаменатель оба стремятся к нулю при *x* стремящемся к бесконечности.

Применяя правило Лопиталя дважды, мы получим:

lim(x->∞) ((5cos(5x) + 3sec^2(3x)) / 1)

Здесь мы использовали производные функций sin и tan, которые равны cos и sec^2 соответственно.

Теперь, продолжим решение:

lim(x->∞) (5cos(5x) + 3sec^2(3x))

Когда *x* стремится к бесконечности, значения cos(5x) и sec^2(3x) могут колебаться между -1 и 1. Однако, когда *x* стремится к бесконечности, эти значения будут колебаться ближе к 0. Таким образом, предел данной функции будет равен:

lim(x->∞) (5cos(5x) + 3sec^2(3x))

= 5 * 0 + 3 * 0

= 0

Таким образом, ответ на данную задачу равен 0.