Question

Исследуете функцию на монотонность и экстремумы: f(x)=2x⁵+5x²

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) обл. опр .х-любое 2) f'(x)=10x^4+10x,   10x^4+10x=0,   x^4+x=0,  x(x^3+1)=0,

x=0, x^3=-1, x=-1,   на числовой прямой отмечаем критические точки  0 и  -1

и определяем знаки производной   ___+__-1___-____0___+____ ,в точке

-1 производная меняет знак  с + на -, это точка max,     0 - точка min,

функция возрастает там , где производная >0 и убывет , когда <0,значит

возрастает (-~; -1] и [0;~),  убывает [-1;0]

Answer 2

Чтобы исследовать функцию на монотонность и экстремумы, нужно проанализировать ее производные и точки, где производные равны нулю.

Данная функция f(x) = 2x⁵ + 5x² является многочленом и, следовательно, непрерывной и гладкой на всей числовой прямой.

1. Найдем первую производную функции f'(x): f'(x) = d/dx (2x⁵ + 5x²)

Для нахождения производной, применим правила дифференцирования: f'(x) = 10x⁴ + 10x

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю и определит их тип (максимум, минимум или точка перегиба). Для этого решим уравнение f'(x) = 0:

10x⁴ + 10x = 0

Вынесем общий множитель 10x: 10x(x³ + 1) = 0

Таким образом, получаем две критические точки: a) x = 0 b) x³ + 1 = 0

Для уравнения x³ + 1 = 0: x³ = -1

Действительных корней у этого уравнения нет, так как нет действительных чисел, которые бы при возведении в куб давали -1.

3. Теперь проанализируем знаки производной в различных интервалах числовой прямой, чтобы определить монотонность функции и локальные экстремумы.

Интервал (-∞, 0): Выбираем x = -1 (значение между -∞ и 0) и подставляем в f'(x): f'(-1) = 10*(-1)⁴ + 10*(-1) = 10 + 10 = 20 (положительное значение)

Интервал (0, +∞): Выбираем x = 1 (значение между 0 и +∞) и подставляем в f'(x): f'(1) = 101⁴ + 101 = 10 + 10 = 20 (положительное значение)

На обоих интервалах производная f'(x) положительна. Это означает, что функция f(x) возрастает на всем интервале (-∞, +∞).

4. Теперь исследуем поведение функции на бесконечностях.

При x → -∞: lim (x → -∞) f(x) = ∞ (функция стремится к плюс бесконечности)

При x → +∞: lim (x → +∞) f(x) = ∞ (функция стремится к плюс бесконечности)

Таким образом, функция f(x) не имеет глобальных экстремумов.

Итак, в результате исследования функции f(x) = 2x⁵ + 5x², мы можем сделать следующие выводы:

1. Функция f(x) возрастает на всей числовой прямой.
2. Функция не имеет локальных экстремумов.
3. Функция стремится к плюс бесконечности как при x → -∞, так и при x → +∞.