Question

Стрелок при каждом выстреле независимо от предыдущих попыток поражает цель с вероятностью 1/3. Сделано 10 выстрелов. Найдите вероятность того, что стрелок попал не менее двух раз, если известно, что хотя бы раз он попал

Answer 1

Вероятность промаха $q=1-p=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$

Пусть событие А - стрелок попал не менее двух раз, а событие В - попал хотя бы раз.

Вероятность того, что стрелок ни разу не попадет в мишень равна

$p_1=q^{10}=\dfrac{2^{10}}{3^{10}}$

Вероятность того, что стрелок попадет только один раз, равна

$p_2=C^1_{10}pq^{9}=\dfrac{10}{3}\cdot \dfrac{2^9}{3^9}$

Тогда вероятность того, что стрелок попадет не менее двух раз, равна

$P(A)=1-\Big(p_1+p_2\Big)=1-\Big(\dfrac{10}{3}\cdot\dfrac{2^9}{3^9}+\dfrac{2^{10}}{3^{10}}\Big)$

Вероятность того, что стрелок попадет хотя бы раз, равна

$P(B)=1-p_1=1-\dfrac{2^{10}}{3^{10}}$

Тогда по формуле Байеса, искомая вероятность:

$P(A|B)=\dfrac{P(B|A)*P(A)}{P(B)}=\dfrac{\left(1-\Big(\dfrac{10}{3}\cdot\dfrac{2^9}{3^9}+\dfrac{2^{10}}{3^{10}}\Big)\right)\cdot 1}{1-\dfrac{2^{10}}{3^{10}}}\approx0.912$

Ответ: 0,912.

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Вероятность попадания стрелка в каждом выстреле равна 1/3, а вероятность промаха равна 1 - 1/3 = 2/3.

Для нахождения вероятности того, что стрелок попал не менее двух раз, если известно, что хотя бы раз он попал, мы можем использовать метод комбинирования условных вероятностей.

Обозначим событие "стрелок попал не менее двух раз" как A, а событие "стрелок попал хотя бы раз" как B.

Вероятность события B можно вычислить как вероятность промаха во всех 10 выстрелах:

P(B) = (2/3)^10

Для нахождения вероятности события A при условии B, мы должны найти вероятность попадания не менее двух раз при условии, что стрелок попал хотя бы раз. Это можно выразить следующим образом:

P(A|B) = P(A и B) / P(B)

Так как мы знаем, что стрелок попал хотя бы раз (событие B), нам нужно вычислить вероятность того, что стрелок попал не менее двух раз и попал хотя бы раз (событие A и B).

P(A и B) = P(стрелок попал не менее двух раз и попал хотя бы раз)

Это равно сумме вероятностей попадания стрелка два раза, три раза, ..., до 10 раз:

P(A и B) = P(стрелок попал два раза) + P(стрелок попал три раза) + ... + P(стрелок попал десять раз)

Для вычисления каждой вероятности можно использовать формулу биномиального распределения:

P(k успехов в n испытаниях) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где C(n, k) - число сочетаний из n по k, p - вероятность успеха в одном испытании, а (1-p) - вероятность неудачи в одном испытании.

В данном случае, p = 1/3, n = 10.

Итак, для вычисления P(A и B) и P(B), а затем P(A|B), мы можем использовать следующий код:

pythonCopy code
import math

p = 1/3
n = 10

# Вычисление P(A и B)
p_a_and_b = sum(math.comb(n, k) * (p ** k) * ((1-p) ** (n-k)) for k in range(2, n+1))

# Вычисление P(B)
p_b = (1-p) ** n

# Вычисление P(A|B)
p_a_given_b = p_a_and_b / p_b

print(p_a_given_b)

Результат будет вероятностью того, что стрелок попал не менее двух раз, если известно, что он попал хотя бы раз.