Question

Треугольник EAP задан координатами своих вершин E(4;1) A(7;3) P(2;4). Найдите угол APE этого треугольника

Answer 1

Ответ:

45°

Пошаговое объяснение:

Для того, чтобы найти угол APE, надо найти угол между векторами PA и PE. Для нахождения вектора PA надо их координат А вычесть координаты Р

РА = ((7-2);(3-4)) = (5;-1)

Аналогично

РЕ = ((4-2);(1-4)) = (2;-3)

Угол между векторами равен

$cos\alpha=\frac{a*b}{|a|*|b|}$, где a и b вектора.

Найдем скалярное произведение векторов a*b (в нашем случае РА*РЕ)

РА*РЕ=5*2+(-1)*(-3)=13

Найдем модули векторов

|PA| = $\sqrt{5^{2}+1^{2}}=\sqrt{26}$

|PE| = $\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{13}$

Найдем произведение модулей векторов

|PA| * |PB| = $\sqrt{26}*\sqrt{13}=13\sqrt{2}$

Найдем угол между векторами

$cos\alpha=\frac{a*b}{|a|*|b|}$ =

= $\frac{13}{13\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Если $cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$ то $\alpha$=45°

Answer 2

Чтобы найти угол APE в треугольнике EAP, нужно воспользоваться теоремой косинусов. Эта теорема связывает длины сторон треугольника с косинусами его углов. Формула для нахождения косинуса угла в треугольнике:

$\cos(\angle APE) = \frac{{a^2 + b^2 - c^2}}{{2ab}},$

где a, b и c - длины сторон треугольника. В нашем случае стороны:

a = EP (расстояние между точками E(4;1) и P(2;4)), b = EA (расстояние между точками E(4;1) и A(7;3)), c = AP (расстояние между точками A(7;3) и P(2;4)).

Давайте вычислим значения сторон и затем найдем угол APE:

1. Найдем длины сторон треугольника: $a = EP = \sqrt{{(x_P - x_E)^2 + (y_P - y_E)^2}} = \sqrt{{(2 - 4)^2 + (4 - 1)^2}} = \sqrt{{4 + 9}} = \sqrt{{13}} \approx 3.605$

$b = EA = \sqrt{{(x_A - x_E)^2 + (y_A - y_E)^2}} = \sqrt{{(7 - 4)^2 + (3 - 1)^2}} = \sqrt{{9 + 4}} = \sqrt{{13}} \approx 3.605$

$c = AP = \sqrt{{(x_P - x_A)^2 + (y_P - y_A)^2}} = \sqrt{{(2 - 7)^2 + (4 - 3)^2}} = \sqrt{{25 + 1}} = \sqrt{{26}} \approx 5.099$

2. Подставим значения сторон в формулу косинуса угла APE: $\cos(\angle APE) = \frac{{a^2 + b^2 - c^2}}{{2ab}} = \frac{{(\sqrt{{13}})^2 + (\sqrt{{13}})^2 - (\sqrt{{26}})^2}}{{2 \cdot \sqrt{{13}} \cdot \sqrt{{13}}}} = \frac{{13 + 13 - 26}}{{26}} = \frac{{0}}{{26}} = 0$

Так как косинус угла равен 0, угол APE равен 90 градусов, т.к. cos(90°) = 0. Угол APE является прямым углом.