Question

В треугольнике EAP задан координатами своих вершин E(4;1) A(7;3) P(2;4). Найдите угол APE этого треугольника​

Answer 1

Ответ:

45°

Пошаговое объяснение:

Для того, чтобы найти угол APE, надо найти угол между векторами PA и PE. Для нахождения вектора PA надо их координат А вычесть координаты Р

РА = ((7-2);(3-4)) = (5;-1)

Аналогично

РЕ = ((4-2);(1-4)) = (2;-3)

Угол между векторами равен

$cos\alpha=\frac{a*b}{|a|*|b|}$, где a и b вектора.

Найдем скалярное произведение векторов a*b (в нашем случае РА*РЕ)

РА*РЕ=5*2+(-1)*(-3)=13

Найдем модули векторов

|PA| = $\sqrt{5^{2}+1^{2}}=\sqrt{26}$

|PE| = $\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{13}$

Найдем произведение модулей векторов

|PA| * |PB| = $\sqrt{26}*\sqrt{13}=13\sqrt{2}$

Найдем угол между векторами

$cos\alpha=\frac{a*b}{|a|*|b|}$ =

= $\frac{13}{13\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Если $cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$ то $\alpha$=45°

Answer 2

Для нахождения угла APE в треугольнике EAP мы можем использовать теорему косинусов.

Сначала найдем длины сторон треугольника. Для этого вычислим расстояния между вершинами:

Длина стороны EA: EA = √((x_A - x_E)^2 + (y_A - y_E)^2) = √((7 - 4)^2 + (3 - 1)^2) = √(3^2 + 2^2) = √(9 + 4) = √13

Длина стороны AP: AP = √((x_P - x_A)^2 + (y_P - y_A)^2) = √((2 - 7)^2 + (4 - 3)^2) = √((-5)^2 + 1^2) = √(25 + 1) = √26

Длина стороны EP: EP = √((x_P - x_E)^2 + (y_P - y_E)^2) = √((2 - 4)^2 + (4 - 1)^2) = √((-2)^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13

Теперь мы можем применить теорему косинусов, чтобы найти угол APE:

cos(APE) = (EP^2 + EA^2 - AP^2) / (2 * EP * EA)

cos(APE) = (13 + 13 - 26) / (2 * √13 * √13) = 0 / 26 = 0

Угол APE равен 0 градусов.