Question

1) довести, що n² +1 не ділиться націло на 3 ні при якому цілому n 2) знайти останню цифру числа 1989 в 1989 степені3) довести що 2222 в 5555степені +5555 в 2222 степені ділиться на 7​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1) Подставив n=3k n=3k+1  n=3k-1 получим в остатке от деления наи3 соответственно 1,2 и 2. А в указанном виде можно  представить любое целое исло (k-любое целое).

2) 1989 в нечетной степени заканчивается на 9, в четной на 1. Ответ: 9.

3)  2222^5555+5555^2222  делится на 7 ?

Остаток от деления 2222 на 7 равен 3

Остаток от деления 5555 на 7  равен 5

Остаток от деления  2222^5555 на 7 такой же как от деления 3^5555 на 7.

остатки от деления 3^к на 7 равны

3, 2,6,4,5,1,3 ...   т.е. период 6.

5555=925*6+5

Значит остаток от деления 2222^5555 на 7 равен 5.

5555=7*793+4

остатки от деления 4^к на 7 равны

4,2,1,4,.... период 3.

2222=740*3+2

Значит остаток от деления 5555^2222 на 7 равен 2.

Сумма остатков слагаемых равна 7.

Значит сумма делится на 7.

Answer 2

1. Доведення, що n² + 1 не ділиться націло на 3 ні при якому цілому n:

Для доведення цього твердження застосуємо метод математичної індукції.

Крок 1: Перевірка для n = 1 Підставимо n = 1 в вираз n² + 1: 1² + 1 = 1 + 1 = 2

Оскільки 2 не ділиться націло на 3, твердження виконується для n = 1.

Крок 2: Припустимо, що твердження справедливе для деякого цілого k, тобто k² + 1 не ділиться націло на 3.

Крок 3: Доведемо, що твердження справедливе для k + 1, тобто (k + 1)² + 1 також не ділиться націло на 3.

Розкладемо вираз (k + 1)² + 1: (k + 1)² + 1 = k² + 2k + 1 + 1 = k² + 2k + 2

Тепер розглянемо два можливих випадки: а) k ділиться націло на 3 (k = 3m, де m - ціле число) b) k не ділиться націло на 3 (k = 3m + 1 або k = 3m + 2)

a) Якщо k ділиться націло на 3 (k = 3m), підставимо це у рівняння k² + 1: k² + 1 = (3m)² + 1 = 9m² + 1

9m² ділиться націло на 3, тому залишок від ділення на 3 буде дорівнювати 0. А оскільки до нього додається 1, то вираз k² + 1 не ділиться націло на 3.

b) Якщо k не ділиться націло на 3 (k = 3m + 1 або k = 3m + 2), підставимо це у рівняння k² + 1: k² + 1 = (3m + 1)² + 1 = 9m² + 6m + 2 = 3(3m² + 2m) + 2

3(3m² + 2m) ділиться націло на 3, тому залишок від ділення на 3 буде дорівнювати 0. А оскільки до нього додається 2, то вираз k² + 1 не ділиться націло на 3.

Отже, ми довели за допомогою математичної індукції, що n² + 1 не ділиться націло на 3 ні при якому цілому n.

2. Знаходження останньої цифри числа 1989 в степені 1989:

Для знаходження останньої цифри числа 1989^1989, варто зауважити, що останні цифри числа повторюються у зацикленому порядку з періодом 4 (1989, 1989^2, 1989^3, 1989^4 і т.д.).

Останні цифри чисел 1989^1, 1989^2, 1989^3, та 1989^4: 1989^1 = 1989 (останні цифри: 9) 1989^2 = 3 963 321 (останні цифри: 1) 1989^3 = 7 895 209 869 (останні цифри: 9) 1989^4 = 15 685 532 122 641 (останні цифри: 1)

Зверніть увагу, що останні цифри знову повторюються з періодом 4.

Тепер давайте знайдемо залишок від ділення степені 1989 на 4: 1989^1989 ≡ 1989^(4k + r) ≡ (1989^4)^k * 1989^r, де r - залишок від ділення 1989 на 4.

Залишок від ділення 1989 на 4 дорівнює 1 (1989 = 4 * 497 + 1), тому r = 1.

Тепер, 1989^1989 ≡ (1989^4)^k * 1989^1

Ми вже обчислили, що 1989^4 закінчується на 1, тому (1989^4)^k також закінчується на 1.

Таким чином, останньою цифрою числа 1989^1989 буде така ж, як остання цифра числа 1989^1, а саме 9.

3. Доведення, що 2222 в 5555 степені + 5555 в 2222 степені ділиться на 7:

Для доведення цього твердження скористаємося малим теоремою Ферма (загальна форма теореми Євкліда). Ц