Question

Внутри треугольника отметили n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Их соединили друг с другом и с вершинами треугольника непересекающимися отрезками. При этом треугольник разблися на маленькие треугольники. Доказать, что число маленьких треугольков нечётно.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:а) 1  

б) 3  

в) 6  

г) 10  

Это, если одна точка может быть соединена не только с одной  

а) 1  

б) 1  

в) 2  

г) 2  

Это, если только с одной

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Индукционное предположение: Пусть утверждение верно для n точек внутри треугольника, и мы доказали, что количество маленьких треугольников, образованных ими, нечетно.

Шаг индукции: Добавим еще одну точку (n+1-я) внутри треугольника. При этом, новая точка может лежать внутри любого из уже существующих маленьких треугольников или на границе какого-то из них.

Рассмотрим два случая:

1. Новая точка лежит внутри одного из маленьких треугольников: В этом случае, новая точка соединится с вершинами маленького треугольника непересекающимися отрезками, образуя 3 новых маленьких треугольника (один внутри каждого из старых треугольников). Таким образом, количество маленьких треугольников увеличивается на 2.

2. Новая точка лежит на границе маленьких треугольников: В этом случае, новая точка соединится с вершиной треугольника и образует один маленький треугольник с одним из уже существующих. Это увеличит количество маленьких треугольников на 1.

Таким образом, при добавлении новой точки количество маленьких треугольников увеличивается на нечетное число. Поскольку исходное утверждение верно для n точек, и при добавлении каждой следующей точки мы увеличиваем количество маленьких треугольников на нечетное число, то и для n+1 точек утверждение также будет верно.

По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных n, значит, число маленьких треугольников будет нечетным, если внутри треугольника отмечено любое натуральное число точек n.