Question

Найти производную по определению (через предел, приращение и т. д.):

Answer 1

$\displaystyle y'(x_0)=\lim_{зx \to 0}\dfrac{y(x_0+зx)-y(x_0)}{зx}=\\ \\ \\ =\lim_{зx \to 0}\dfrac{3\Big(\log_2(6x_0+6зx+1)-\log_2(6x_0+1)\Big)}{зx}=\\ \\ \\ =\lim_{зx \to 0}\frac{3\log_2\frac{6x_0+6зx+1}{6x_0+1}}{зx}=\lim_{зx \to 0}\frac{3\log_2\left(1+\frac{6зx}{6x_0+1}\right)}{зx}=\\ \\ \\ =3\lim_{зx \to 0}\frac{\log_2\left(1+\frac{6зx}{6x_0+1}\right)}{\frac{6зx}{6x_0+1}\cdot\frac{6x_0+1}{6}}=3\cdot\frac{1}{\ln 2}\cdot \frac{6}{6x_0+1}=\frac{18}{(6x_0+1)\ln2}$

Приняв $x_0=x$, получим $y'(x)=\frac{18}{(6x+1)\ln2}$

Answer 2

Чтобы найти производную по определению функции $f(x)$, используем следующую формулу:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Здесь $h$ представляет собой бесконечно малое приращение аргумента $x$.

Процесс вычисления производной по определению включает следующие шаги:

1. Запишите функцию $f(x)$, для которой хотите найти производную.
2. Замените $f(x + h)$ в формуле на $f(x) + hf'(x) + O(h^2)$, где $O(h^2)$ означает члены более высокого порядка малости, которые можно опустить при вычислении предела.
3. Подставьте эти значения в формулу и упростите выражение.
4. Вычислите предел, когда $h$ стремится к нулю.

Рассмотрим пример. Пусть $f(x) = x^2$ и мы хотим найти производную $f'(x)$ по определению.

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Заменяем $f(x + h)$ в формуле:

$= \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$

Раскрываем квадрат:

$= \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$

Упрощаем выражение:

$= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}$

$= \lim_{h \to 0} (2x + h)$

Вычисляем предел при $h \to 0$:

$= 2x$

Таким образом, производная по определению функции $f(x) = x^2$ равна $2x$.

Это общий подход к нахождению производной по определению для произвольной функции. Однако, для сложных функций вычисление производной по определению может быть сложным и неэффективным методом. В таких случаях обычно используются более удобные методы дифференцирования, такие как правила дифференцирования и формулы для производных базовых функций.