Question

. На окружности отмечено 150 серых, 151 бурая и 152 малиновых точки таким образом, что никакие две одноцветные точки не стоят рядом. Докажите, что найдётся бурая точка, у которой оба соседа ⎯ малиновые.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Если бы было по 151 точки каждого цвета, то они стояли бы так:

СБМБСМБСБМСМБ....СБМ.

Но, так как серых 150, а малиновых 152, то одна серая заменяется на малиновую и получается так:

СБМСМБМСБ....МБМ...СБМ.

Answer 2

Допустим, это утверждение неверно и у всех бурых точек, у которых есть соседи, не обязательно оба будут малиновыми. Тогда рассмотрим бурое множество точек и их соседей.

1. В случае, если среди бурых точек нет ни одной малиновой, то все точки в этом множестве были бы серыми. Но тогда у нас было бы 151 серая точка, что противоречит условию.

2. Если среди бурых точек есть хотя бы одна малиновая, тогда рассмотрим самую левую и самую правую малиновую точки в этом множестве. Обозначим их через М1 и М2 соответственно. Между ними находится как минимум одна бурая точка, обозначим её Б. Так как точки M1 и M2 - малиновые, то они не могут быть соседями. Значит, существует серая точка S между ними.

Таким образом, у нас имеется следующая последовательность: М1 - Б - S - М2. Здесь Б - бурая, а S - серая точка. Но тогда можно заметить, что у бурых точек Б и M1 есть общий сосед - серая точка S. Однако, по условию задачи, никакие две одноцветные точки не могут стоять рядом, что противоречит нашему предположению.

Таким образом, наше предположение неверно, и найдется бурая точка, у которой оба соседа будут малиновыми.