Question

Определить площадь области, ограниченной графиками функций: y=1/x, y=2/x, y=-1, x=-4

Answer 1

$S = \int\limits_{-4}^{-2} (\frac{2}{x} - \frac{1}{x}) \,dx - \int\limits_{-2}^{-1} (-1 - \frac{1}{x}) \, dx = \int\limits_{-4}^{-1} \frac{1}{x} \, dx + \int\limits_{-2}^{-1} \, dx = \ln |x| \bigg|^{-1}_{-4} + x \bigg|^{-1}_{-2} = -\ln 4 + 1$

Answer 2

Чтобы определить площадь области, ограниченной графиками функций y = 1/x, y = 2/x, y = -1 и x = -4, необходимо сначала найти точки пересечения графиков.

1. Найдем точки пересечения функций y = 1/x и y = 2/x. Для этого приравняем их: 1/x = 2/x Поскольку обе функции имеют ненулевые знаменатели, можно сократить уравнение на x и получить: 1 = 2 Это уравнение не имеет решений, что означает, что графики функций y = 1/x и y = 2/x не пересекаются.

2. Найдем точки пересечения функции y = 1/x и y = -1. Для этого приравняем их: 1/x = -1 Домножим обе части уравнения на x: 1 = -x x = -1 При подстановке x = -1 в уравнение y = 1/x, получим: y = 1/(-1) = -1 Таким образом, точка пересечения данных функций: (-1, -1).

3. Найдем точки пересечения функции y = 2/x и y = -1. Для этого приравняем их: 2/x = -1 Домножим обе части уравнения на x: 2 = -x x = -2 При подстановке x = -2 в уравнение y = 2/x, получим: y = 2/(-2) = -1 Таким образом, точка пересечения данных функций: (-2, -1).

Теперь у нас есть точки пересечения графиков функций, а также границы области: x = -4. Чтобы найти площадь этой области, нужно определить интегралы функций в пределах этой области. Так как область ограничена горизонтальной линией y = -1 и вертикальной линией x = -4, она представляет собой прямоугольный треугольник.

Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу: S = (1/2) * основание * высота.

Основание треугольника равно разности координат x (-1 и -4): основание = -1 - (-4) = 3. Высота треугольника равна разности координат y (-1 и -1): высота = -1 - (-1) = 0.

Подставим значения в формулу площади треугольника: S = (1/2) * 3 * 0 = 0.

Таким образом, площадь области, ограниченной графиками функций y = 1/x, y = 2/x, y = -1 и x = -4, равна 0.