Question

Решите дифференциальное уравнение, очень надо. Помогите. (1-x)dy-(y-1)dx=0

Answer 1

Ответ: во вложении Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения требуется использовать метод разделения переменных. Давайте начнем.

(1 - x)dy - (y - 1)dx = 0

Перепишем уравнение в следующем виде:

(1 - x)dy = (y - 1)dx

Теперь разделим обе части уравнения на (1 - x) и dx:

dy/dx = (y - 1)/(1 - x)

Теперь можно разделить переменные, переместив dy в одну часть уравнения, а dx в другую:

dy/(y - 1) = dx/(1 - x)

Теперь проинтегрируем обе части уравнения относительно соответствующих переменных.

∫dy/(y - 1) = ∫dx/(1 - x)

Для интегрирования левой части уравнения можно использовать замену переменной. Пусть u = y - 1, тогда du = dy.

∫du/u = ∫dx/(1 - x)

ln|u| = -ln|1 - x| + C1

где C1 - постоянная интегрирования.

Продолжая интегрирование, получим:

ln|y - 1| = -ln|1 - x| + C1

Используем свойства логарифмов для упрощения:

ln|y - 1| = ln|(1 - x)^(-1)| + C1

Применим экспоненту к обеим частям уравнения:

|y - 1| = |(1 - x)^(-1)|e^(C1)

Обратите внимание, что константа e^(C1) может быть записана как новая константа, назовем ее C2:

|y - 1| = C2/(1 - x)

Теперь рассмотрим два случая:

1. y - 1 > 0:

y - 1 = C2/(1 - x)

y = C2/(1 - x) + 1

2. y - 1 < 0:

-(y - 1) = C2/(1 - x)

1 - y = C2/(1 - x)

y = 1 - C2/(1 - x)

Таким образом, получаем два общих решения:

1. y = C2/(1 - x) + 1
2. y = 1 - C2/(1 - x)

Где C2 - произвольная постоянная.