Question

Упростить выражения а) 1 + sin^2α + cos^2 α б) tg α (1 - sin^2 α) в) sin α/ 1 + cos α + sin α/ 1 -cos α

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

1+ sin2a+cos2a = 1 + 1= 2

tg a(1-sin2a) = tg a • cos2a

Sin a -cos a sin a + sin a +cos a sin a / 1 - cos 2a = 2sin a/ 1 - cos a

Answer 2

Давайте упростим каждое выражение:

а) 1 + sin^2α + cos^2 α

Используя тригонометрическое тождество sin^2 α + cos^2 α = 1, мы можем заменить sin^2 α + cos^2 α на 1:

1 + sin^2 α + cos^2 α = 1 + 1 = 2

б) tg α (1 - sin^2 α)

Так как тангенс угла α равен отношению синуса угла α к косинусу угла α (tg α = sin α / cos α), то:

tg α (1 - sin^2 α) = tg α * cos^2 α

Также можно использовать другое тригонометрическое тождество: tg α = sin α / cos α:

tg α * cos^2 α = (sin α / cos α) * cos^2 α

Теперь у нас есть одинаковые множители cos^2 α в числителе и знаменателе, и они сокращаются:

(sin α / cos α) * cos^2 α = sin α * cos α

в) sin α / (1 + cos α) + sin α / (1 - cos α)

Для удобства объединим дроби в одну общую дробь:

(sin α / (1 + cos α)) + (sin α / (1 - cos α))

Теперь найдем общий знаменатель для сложения дробей, который будет равен (1 + cos α) * (1 - cos α):

(sin α * (1 - cos α) + sin α * (1 + cos α)) / ((1 + cos α) * (1 - cos α))

Раскроем скобки:

(sin α - sin α * cos α + sin α + sin α * cos α) / ((1 + cos α) * (1 - cos α))

Сократим одинаковые слагаемые:

(2 * sin α) / ((1 + cos α) * (1 - cos α))

Таким образом, упрощенное выражение равно:

2 * sin α / (1 - cos^2 α)

Используя тригонометрическое тождество 1 - cos^2 α = sin^2 α:

2 * sin α / (1 - cos^2 α) = 2 * sin α / sin^2 α

Сократим sin α в числителе и знаменателе:

2 / sin α

Таким образом, окончательное упрощенное выражение равно:

2 / sin α