Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями :y=2x²,x=1,x=3,y=0.

Answer 1

Ответ: S≈17,33 кв. ед.

Пошаговое объяснение:

y=2x²    x=1     x=3      y=0      S=?

S=₁∫³(2x²)=(2*x³ /3)  ₁|³=((2*3³/3))-(2*1³/3)=(54/3)-(2/3)=52/3=17¹/₃.

Answer 2

Ответ:

$8\frac{2}{3}$

Пошаговое объяснение:

y=x^2\; ,\; y=0\; ,\; \; x=1\; ,\; \; x=3\\\\S= \int\limits^3_1x^2\, dx=\frac{x^3}{3}\Big |_1^3=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=9- \frac{1}{3}= \frac{26}{3}=8\frac{2}{3}

Answer 3

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, нам нужно найти площадь между кривой y = 2x² и осью x в пределах от x = 1 до x = 3.

Первым шагом найдем точки пересечения кривой y = 2x² с осью x, то есть, когда y = 0:

0 = 2x²

Чтобы найти значения x, приравняем выражение к нулю и решим уравнение:

x² = 0

x = 0

Таким образом, кривая пересекает ось x в точке (0, 0).

Теперь, чтобы найти другую точку пересечения, подставим y = 0 в уравнение кривой:

0 = 2x²

x² = 0

x = 0

Таким образом, кривая пересекает ось x второй раз также в точке (0, 0).

Теперь наша фигура ограничена кривой y = 2x², вертикальными линиями x = 1 и x = 3, и осью x.

Построим график для наглядности:

luaCopy code
   ^
   |
2x²|         ...........
   |       ..
   |     .
   |   .
   | .
   +------------------------>
          1         3

Заметим, что кривая y = 2x² симметрична относительно оси y и не меняет знак на интервале [1, 3]. Таким образом, площадь фигуры равна модулю интеграла от кривой y = 2x² на интервале от x = 1 до x = 3:

Площадь = ∫[1, 3] |2x²| dx

При вычислении этого интеграла, мы должны разбить его на две части: от x = 1 до x = 0 (левая половина) и от x = 0 до x = 3 (правая половина), иначе получим некорректное значение, так как кривая меняет знак в x = 0.

Затем интегрируем абсолютное значение функции 2x² по каждой половине интервала:

1. Левая половина (от x = 1 до x = 0):

∫[1, 0] |2x²| dx = ∫[1, 0] 2x² dx

Интегрируем 2x²:

= [2 * (x³/3)] |[1, 0]

= 2 * (0 - (1³/3)) = -2/3

2. Правая половина (от x = 0 до x = 3):

∫[0, 3] |2x²| dx = ∫[0, 3] 2x² dx

Интегрируем 2x²:

= [2 * (x³/3)] |[0, 3]

= 2 * (3³/3 - 0) = 2 * 3 = 6

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, сложим абсолютные значения интегралов для обеих половин:

Площадь = | -2/3 | + 6 = 2/3 + 6 = 20/3 или около 6.67 (округляем до двух знаков после запятой).

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой y = 2x², вертикальными линиями x = 1 и x = 3, и осью x, составляет приблизительно 6.67 квадратных единиц.