Question

Мистер Фокс выписал в ряд очень много натуральных чисел. Пришел Мистер Форд и выбрал несколько подряд идущих чисел так, что ни у одного из выбранных чисел сумма цифр не делится на 5. Какое наибольшее количество чисел мог выбрать Мистер Форд?

Answer 1

Рассмотрим произвольный ряд подряд идущих натуральных чисел: x₁, x₂,...x₁₀. Пусть сумма цифр первого числа кратна пяти, а следующее за ним число с суммой цифр кратной пяти будет число x₁ + 5 = x₆. То есть среди этой десятки чисел найдутся два с суммой цифр кратной пяти. Пусть теперь первое число не кратно пяти и равно 5x₁ + 1. Тогда первое число с суммой цифр кратной пяти будет число (5x₁ + 1) + 4= 5x₁ + 5= x₅, а второе x₁₀. Аналогично, если первое число ряда 5x₁ + 2, то первое число ряда с суммой цифр кратной пяти будет число (5x₁ + 2) + 3 = 5x₁ + 5= x₄, а второе x₉ и так далее. Таким образом, среди любых десяти подряд идущих натуральных чисел найдутся минимум два с суммой цифр кратной пяти. А это значит, что максимальное число подряд идущих чисел с суммой цифр не кратной пяти не превышает восьми. Требуемый пример легко находится: 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63.

Ответ: 8.

Answer 2

Для решения этой задачи обратим внимание на условие: Мистер Фокс выписал в ряд очень много натуральных чисел. Давайте предположим, что у нас есть бесконечная последовательность натуральных чисел и Мистер Фокс выписывает их подряд.

Теперь посмотрим на числа, у которых сумма цифр делится на 5: это числа 5, 14, 23, 32, 41, 50, 59, 68, 77 и т. д. Между ними всегда находятся 9 чисел, так как при увеличении числа на 9 его сумма цифр увеличивается на 9.

Таким образом, если Мистер Форд выбирает число, сумма цифр которого не делится на 5, то он также может включить в выбор еще 9 чисел, предшествующих или следующих за ним.

Для максимизации количества выбранных чисел Мистер Форд должен выбрать число, сумма цифр которого не делится на 5, а затем включить в выбор еще 9 чисел, идущих за ним. Таким образом, он может выбрать 10 чисел подряд.

Например, если Мистер Фокс выписал числа от 1 до 100, то Мистер Форд может выбрать числа от 1 до 10 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10), так как ни у одного из них сумма цифр не делится на 5.