Question

В трапеции авсд углы при основании ад равна 20 и 70 длина отрезка соединяющего середины основания равна 3 найдите длину отрезка соединяющего середины диагоналей трапеции

Answer 1

Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Отсюда следует, что МN =3.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство параллельных линий, пересекающихся на одной линии (параллельные линии).

Пусть точка Е - середина отрезка АС, а точка F - середина отрезка BD.

Так как Е - середина отрезка АС, то ЕС параллельно BD и равно половине его длины:

ЕС = (1/2) * BD

Также известно, что длина отрезка, соединяющего середины основания (AB), равна 3. Пусть это отрезок обозначается как х:

AB = х

Так как F - середина отрезка BD, то отрезок EF параллелен основаниям трапеции AB и CD, и его длина равна половине разности длин этих оснований:

EF = (1/2) * (CD - AB)

Так как углы при основании AD равны 20 и 70, то угол ADC = 180 - (20 + 70) = 90 градусов. Значит, трапеция является прямоугольной.

В прямоугольном треугольнике ADC, применим теорему Пифагора:

AC^2 + AD^2 = CD^2

Так как угол ADC = 90 градусов, то AC = BD.

Заменяя AC на BD и заменяя AB на х, получаем:

BD^2 + AD^2 = CD^2

Известно, что AD = CD - AB, поэтому можно заменить AD в уравнении:

BD^2 + (CD - AB)^2 = CD^2

Раскроем квадраты:

BD^2 + CD^2 - 2 * CD * AB + AB^2 = CD^2

Упростим уравнение:

BD^2 + AB^2 = 2 * CD * AB

Теперь заменим BD на 2 * EF и AB на х:

(2 * EF)^2 + x^2 = 2 * CD * x

4 * EF^2 + x^2 = 2 * CD * x

Подставим EF = (1/2) * (CD - AB) и x = 3:

4 * [(1/2) * (CD - AB)]^2 + 9 = 6 * CD

Упростим выражение:

(1/4) * (CD - AB)^2 + 9 = 6 * CD

(1/4) * (CD^2 - 2 * CD * AB + AB^2) + 9 = 6 * CD

CD^2 - 2 * CD * AB + AB^2 + 36 = 24 * CD

CD^2 - 2 * CD * AB - 24 * CD + AB^2 + 36 = 0

CD^2 - (2 * AB + 24) * CD + AB^2 + 36 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно CD. Мы знаем, что AB = х = 3, поэтому заменим AB на 3:

CD^2 - (2 * 3 + 24) * CD + 3^2 + 36 = 0

CD^2 - 30 * CD + 9 + 36 = 0

CD^2 - 30 * CD + 45 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение с помощью квадратного корня или факторизации:

(CD - 3)(CD - 15) = 0

CD - 3 = 0 или CD - 15 = 0

CD = 3 или CD = 15

Так как длина отрезка CD не может быть меньше длины основания AD, то CD = 15.

Используем эту информацию для нахождения EF:

EF = (1/2) * (CD - AB) = (1/2) * (15 - 3) = (1/2) * 12 = 6

Таким образом, длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна 6.