Question

Упростите выражение : cos6acos2a-sin6asin2a​

Answer 1

Cos6acos2a-sin6asin2a = cos (6a+2a)= cos 8a

Answer 2

Для упрощения данного выражения мы можем использовать тригонометрическое тождество двойного угла для функции косинуса и синуса:

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Применим эти тождества к данному выражению:

cos(6a)cos(2a) - sin(6a)sin(2a)

Заменим cos(2a) и sin(2a) с использованием тождеств:

= cos(6a)(cos²(a) - sin²(a)) - sin(6a)(2sin(a)cos(a))

Раскроем скобки:

= cos(6a)cos²(a) - cos(6a)sin²(a) - 2sin(6a)sin(a)cos(a)

Теперь мы можем использовать тождество для функции косинуса:

cos(6a) = 1 - 2sin²(3a)

Подставим это в выражение:

= (1 - 2sin²(3a))cos²(a) - (1 - 2sin²(3a))sin²(a) - 2sin(6a)sin(a)cos(a)

Раскроем скобки:

= cos²(a) - 2sin²(3a)cos²(a) - sin²(a) + 2sin²(3a)sin²(a) - 2sin(6a)sin(a)cos(a)

Сгруппируем подобные члены:

= cos²(a) - sin²(a) - 2sin²(3a)cos²(a) + 2sin²(3a)sin²(a) - 2sin(6a)sin(a)cos(a)

Мы можем преобразовать cos²(a) - sin²(a) с использованием тождества для функции косинуса:

cos²(a) - sin²(a) = cos(2a)

= cos(2a) - 2sin²(3a)cos²(a) + 2sin²(3a)sin²(a) - 2sin(6a)sin(a)cos(a)

Таким образом, упрощенное выражение равно:

cos(2a) - 2sin²(3a)cos²(a) + 2sin²(3a)sin²(a) - 2sin(6a)sin(a)cos(a)