Question

Y=(2x-1)/(x-1)^2 исследовать функцию методами дифференциального исчисления

Answer 1

Дана функция у = (2x-1)/(x-1)^2.  

 Приводим её график во вложении.

Таблица точек

 x     y

-4.0 -0.36

-3.5 -0.4

-3.0 -0.44

-2.5 -0.49

-2.0 -0.56

-1.5 -0.64

-1.0 -0.75

-0.5 -0.89

0 -1

0.5 0

1.0 -

1.5 8

2.0 3

2.5 1.78

3.0 1.25

3.5 0.96

4.0 0.78

4.5 0.65

5.0 0.56

5.5 0.49

6.0 0.44

 

1.  Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R при х ≠ 1.

2. Функция f (x) = (2x-1)/(x-1)^2    непрерывна на всей области определения.  

Точка, в которой функция точно не определена (разрыв функции): х = 1.

Область значений функции приведена в пункте 5.

3. Точки пересечения с осью координат Ох.

График функции пересекает ось Ох при f = 0, значит надо решить уравнение:

(2x-1)/(x+1)^2 =0.  

Достаточно для дроби приравнять нулю числитель и проверить, не превращается ли в 0 знаменатель при найденных корнях.

Приравниваем нулю: 2х - 1 = 0.  х = 0,5.

Значит, функция может принимать значения х = 0, так как точка, при которой знаменатель превращается в 0, это х = 1.  

4. Точки пересечения с осью координат Оу.

График пересекает ось Oy, когда x равняется 0.

Точка пересечения графика с осью координат Оу соответствует аргументу х = 0.

Результат: f(0) = -1. Точка: (0, -1).

5. Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение

y’ = 0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:

y^'=-2x/(x-1)^3 =0.

Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами (достаточно нулю приравнять числитель): 2x=0.

Получаем 1 корень этого уравнения и это - точка, в которых возможен экстремум: х = 0 .Эта точка делит область определения функции на 2 промежутка, а с учётом точки разрыва функции при х = 1 получаем 3 промежутка монотонности функции :

x ϵ (-∞; 0) U (0; 1) U (1; +∞).  

На промежутках находим знаки производной.

Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.  

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x =    -1       0 0,5    1      2

y' = -0,25 0 8     -     -4

Минимум функции в точке х = 0.

Максимума функции  нет.

Возрастает на промежутке: x ϵ (0; 1).

Убывает на промежутках: (-∞; 0) (1; +∞)..

Наличие точки разрыва функции первого рода требует определения предела функции при приближении к точке х = 1.

Находим пределы при х→1_(-0) и х→1_(+0).

lim┬(x→1)⁡〖(2x-1)/(x-1)^2 =∞〗.

Так как в точке х = 1 функция  терпит бесконечный разрыв,  то прямая, заданная уравнением х = 1, является вертикальной асимптотой графика.

Отсюда находим область значений функции - вся числовая ось: E(y) = R.

6. Точки перегибов графика функции:  

Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции.  

y^''=(2(2x+1))/(x-1)^4 =0.

Это уравнение имеет решение при 2x+1=0,x=-1/2.

Поэтому у графика перегиб в точке ((-1/2); (-8/9)).  

7. Интервалы выпуклости, вогнутости:  

Так как вертикальная асимптота делит график на 2 части, а точка перегиба находится в одной из них, то имеем 3 промежутка выпуклости функции:

x ϵ (-∞; (-1/2)) U ((-1/2); 1) U (1; +∞).  

Находим знаки второй производной на этих промежутках - где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый:

x =      -1       -0,5 0,5    1     2

y'' = -0,125 0 64   -     10

 Выпуклая на промежутке: (-∞; (-1/2)).

Вогнутая на промежутках: ((-1/2); -1) и (-1; ∞).

8. Асимптоты.

Вертикальная асимптота определилась в пункте 2, это прямая х = 1.

Горизонтальные асимптоты графика функции:  

Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соотвествующие пределы находим:  

lim┬(x→∞)⁡〖2x/(x-1)^2 =∞〗, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует

lim┬(x→-∞)⁡〖2x/(x-1)^2 =-∞〗,, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.

Наклонные асимптоты графика функции

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид  y=kx+b. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при lim┬(  x→±∞)⁡〖(kx+b-f(x)).〗  

Находим коэффициент k:    k=lim┬(x→±∞)⁡〖(f(x))/x.〗  

k=  lim┬(x→∞)⁡〖(2x-1)/((x-1)^2 x)=(2x-1)/(x^3-2x^2+x)=(2x/x^3 -1/x^3 )/(x^3/x^3 -(2x^2)/x^3 +x/x^3 )=(0-0)/(1-0+0)=0.〗

Так как коэффициент к = 0, то наклонной асимптоты нет, она совпадает с осью Ох при x→∞.

9. Четность и нечетность функции:  

Проверим функцию -  четна или нечетна с помощью соотношений f(-x)=f-x) и f(-x)=-f(x). Итак, проверяем: f(-x)=(-2x-1)/(-x-1)^2 =(-(2x+1))/(x+1)^2 ≠f(x)≠-f(x).

3начит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Answer 2

Для исследования функции Y=(2x-1)/(x-1)^2 методами дифференциального исчисления, нам потребуется определить её производные, интервалы допустимых значений, асимптоты, точки разрыва, и значения функции в критических точках.

Шаги для исследования функции:

1. Найти производные функции Y по x.
2. Найти интервалы допустимых значений функции.
3. Найти асимптоты функции.
4. Найти точки разрыва функции.
5. Найти критические точки и значения функции в них.

Давайте начнем:

1. Найти производные функции Y по x:

Y = (2x-1)/(x-1)^2

Используем правило дифференцирования частного:

Y' = [(2*(x-1)^2 - (2x-1)2(x-1)*1)] / (x-1)^4 Y' = (2x^2 - 4x + 2 - 2x^2 + 2x) / (x-1)^4 Y' = (2x - 2) / (x-1)^3

2. Найти интервалы допустимых значений функции:

Функция Y существует для всех значений x, за исключением тех, которые делают знаменатель (x-1)^2 равным нулю, так как это приведет к делению на ноль. Таким образом, Y существует для всех x, кроме x = 1.

3. Найти асимптоты функции:

а) Вертикальная асимптота: Вертикальная асимптота возникает, когда знаменатель функции равен нулю. Здесь знаменатель (x-1)^2 равен нулю при x = 1. Это означает, что функция имеет вертикальную асимптоту при x = 1.

б) Горизонтальная асимптота: Для определения горизонтальной асимптоты, когда x стремится к бесконечности, рассмотрим предел функции Y при x -> ±∞:

lim (x -> ±∞) Y = lim (x -> ±∞) (2x-1)/(x-1)^2

После деления наибольшего степенного члена в числителе и знаменателе:

lim (x -> ±∞) Y = lim (x -> ±∞) (2 - 1/x)/(1 - 1/x)^2

Когда x стремится к бесконечности, члены 1/x стремятся к нулю:

lim (x -> ±∞) Y = 2

Таким образом, горизонтальная асимптота функции Y равна y = 2.

4. Найти точки разрыва функции:

Точка разрыва возникает, когда функция имеет разрыв в определении, т.е. знаменатель (x-1)^2 равен нулю. Уже установили, что точка разрыва находится в x = 1.

5. Найти критические точки и значения функции в них:

Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует. Мы уже нашли производную ранее:

Y' = (2x - 2) / (x-1)^3

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

2x - 2 = 0 2x = 2 x = 1

Критическая точка x = 1 совпадает с точкой разрыва функции.

Теперь найдем значение функции Y в этой критической точке:

Y(1) = (2*1 - 1)/(1-1)^2 Y(1) = 1/0

Значение функции в критической точке x=1 не существует (деление на ноль).

Теперь у нас есть следующая информация о функции Y=(2x-1)/(x-1)^2:

• Функция существует для всех x, кроме x=1.
• Вертикальная асимптота при x=1.
• Горизонтальная асимптота при y=2.
• Функция имеет точку разрыва в x=1.
• Функция имеет критическую точку в x=1, но значение функции в этой точке не существует.

Пожалуйста, обратите внимание, что этот анализ является описательным и не учитывает поведение функции на каждом интервале. Чтобы полностью понять график функции, можно нарисовать его и использовать эти результаты для анализа его поведения на разных участках.