Question

Доказать, что 5^n - 3^n кратно(делится) 16

Answer 1

Ответ:

не понял

5^3-3^3=125-27=98 не кратно 16

и что?

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства, что выражение $5^n - 3^n$ кратно 16 при $n \geq 0$, мы можем использовать метод математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай При $n = 0$, выражение принимает значение: $5^0 - 3^0 = 1 - 1 = 0$, которое является кратным 16.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для некоторого положительного целого числа $k$ выражение $5^k - 3^k$ кратно 16, то есть существует целое число $m$ такое, что $5^k - 3^k = 16m$.

Шаг 3: Индукционный шаг Рассмотрим $n = k + 1$. Мы хотим доказать, что $5^{k+1} - 3^{k+1}$ также кратно 16.

$$\begin{align*} 5^{k+1} - 3^{k+1} &= 5 \cdot 5^k - 3 \cdot 3^k \\ &= 5 \cdot 5^k - 3 \cdot 3^k + 15 \cdot 3^k - 15 \cdot 3^k \quad \text{(добавляем и вычитаем } 15 \cdot 3^k) \\ &= 5 \cdot 5^k - 15 \cdot 3^k + 15 \cdot 3^k - 3 \cdot 3^k \\ &= 5 \cdot 5^k - 15 \cdot 3^k + 15 \cdot 3^k - 3 \cdot 3^k \\ &= 5 \cdot (5^k - 3^k) + 3^k \cdot (15 - 3) \\ &= 5 \cdot (5^k - 3^k) + 12 \cdot 3^k \end{align*}$$

Здесь первое слагаемое $5 \cdot (5^k - 3^k)$ является кратным 16 в соответствии с предположением индукции. Второе слагаемое $12 \cdot 3^k$ также кратно 16, так как содержит множитель 12.

Таким образом, мы можем записать $5^{k+1} - 3^{k+1}$ в виде $16m + 16n$, где $m = 5^k - 3^k$ и $n = 3^k$. Это означает, что $5^{k+1} - 3^{k+1}$ также кратно 16.

Заключение Мы показали, что если выражение $5^k - 3^k$ кратно 16 для некоторого положительного целого числа $k$, то оно также кратно 16 для $k + 1$. С учетом базового случая при $n = 0$, по принципу математической индукции мы можем заключить, что $5^n - 3^n$ кратно 16 для любого неотрицательного целого числа $n$.