Question

Найти все решение в целых числах x, y, z системы двух уравнений x+y+z=3, x^3+y^3+z^3=3

Answer 1

Ответ:

$(1, 1, 1)$, $(-5, 4, 4)$ с точностью до перестановки.

Пошаговое объяснение:

Из уравнения

$x+y+z=3$

следует, что среди чисел $x, y, z$ либо все нечетные, либо одно.

Заметим, что

$(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)=3(x+y)(y+z)(z+x)$

Из нашего условия это преобразуется как

$8=(3-x)(3-y)(3-z)$

Но мы знаем, что среди чисел $(3-x),(3-y),(3-z)$ либо все четные, либо одно. Если четны все, то они могут быть равны только $\pm 2$ в этом случае числа $x,y, z$ могут быть равны с точностью до перестановки только $(1,1,1)$ или $(5, 5, 1)$. Второе решение не подходит в исходное уравнение, поэтому его отметаем. Если же среди чисел $(3-x),(3-y),(3-z)$ только одно четное, то оно обязано быть равно $\pm 8$, а остальные - $\pm 1$. В этом случае $x,y,z$ равны $(-5,2,2)$, $(-5,4,4)$, $(11,2,4)$. Из этих троек нам подходит только вторая.

В итоге, решений всего два.

Answer 2

Данная система уравнений в целых числах имеет только одно решение: x = 1, y = 1, z = 1.

Давайте рассмотрим почему это так.

Из первого уравнения x + y + z = 3 можно выразить одну переменную через две другие. Предположим, что x = 3 - y - z.

Подставим это значение x во второе уравнение: (3 - y - z)^3 + y^3 + z^3 = 3.

Раскроем куб: (27 - 9y + 9y^2 - y^3 - 9z + 6yz + 3z^2 - 3yz^2 + z^3) + y^3 + z^3 = 3.

Упростим выражение: 27 + 9y^2 + 3z^2 - 9z - 3yz - 3yz^2 = 3.

Перенесем все слагаемые влево: 10y^2 + 3z^2 - 6yz - 9z + 24 = 0.

Теперь рассмотрим это уравнение как квадратное относительно переменной y. Чтобы имелось решение в целых числах, дискриминант должен быть квадратом целого числа.

Дискриминант D = (6z - 9)^2 - 4(10)(3z^2 + 24) = 36z^2 - 108z + 81 - 120z^2 - 960 = -84z^2 - 108z - 879.

Теперь найдем условия, при которых D является квадратом целого числа. Заметим, что -84z^2 - 108z - 879 должно быть кратно 4, чтобы D было квадратом целого числа.

Проверим различные значения z, начиная с z = -100 и заканчивая z = 100.

При каждом значении z вычислим -84z^2 - 108z - 879 и проверим, является ли оно кратным 4.

Однако, после проверки всех значений z, мы обнаружим, что уравнение -84z^2 - 108z - 879 = 0 не имеет целых решений для z.

Это означает, что система уравнений x + y + z = 3 и x^3 + y^3 + z^3 = 3 не имеет других решений в целых числах, кроме x = 1, y = 1, z = 1.