Question

Lim x->oo (lnx)^1/x найти предел

Answer 1

$\lim\limits_{x\to\infty}(lnx)^{\dfrac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{ln(lnx)^{\dfrac{1}{x}}}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{{\dfrac{ln(lnx)}{x}}}=e^\lim\limits_{x\to\infty}{{\dfrac{ln(lnx)}{x}}}}=e^\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\dfrac{\frac{1}{x}}{lnx}}{1}}=e^\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1}{xlnx}}=e^0=1$

Answer 2

Чтобы найти предел $\lim_{{x \to \infty}} (\ln x)^{\frac{1}{x}}$, можно воспользоваться правилом Лопиталя или привести выражение к более удобному виду. В данном случае воспользуемся вторым способом.

Пусть $y = (\ln x)^{\frac{1}{x}}$. Возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

$\ln y = \frac{1}{x} \ln(\ln x)$

Теперь рассмотрим предел $\lim_{{x \to \infty}} \ln y$:

$\lim_{{x \to \infty}} \ln y = \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x} \ln(\ln x)$

Применим правило Лопиталя, взяв производную числителя и знаменателя по $x$:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x} \ln(\ln x) = \lim_{{x \to \infty}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{\ln x}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{\ln x}{x} = 0$

Таким образом, получаем $\lim_{{x \to \infty}} \ln y = 0$.

Воспользуемся свойствами экспоненты, чтобы найти предел $\lim_{{x \to \infty}} y$:

$\lim_{{x \to \infty}} y = \lim_{{x \to \infty}} e^{\ln y} = e^{\lim_{{x \to \infty}} \ln y} = e^0 = 1$

Итак, предел $\lim_{{x \to \infty}} (\ln x)^{\frac{1}{x}}$ равен 1.