Question

Известно, что уравнение |x − 1| + |x − 2| + · · · + |x − 2019| = a имеет ровно одно решение. Найдите все возможные значения a.

Answer 1

Ответ:

a = 1019090

Пошаговое объяснение:

Одно решение будет при x = (1 + 2019)/2 = 1010

a = |1010-1| + |1010-2| + |1010-3| + ... + |1010-1009| + |1010-1010| +

+ |1010-1011| + |1010-1012| + ... + |1010-2017| + |1010-2018| + |1010-2019| =

= 1009 + 1008 + 1007 + ... + 1 + 0 + 1 + 2 + ... + 1007 + 1008 + 1009 =

= 2*(1 + 2 + ... + 1009) = 2*(1+1009)*1009/2 = 1010*1009 = 1019090

Answer 2

Дано уравнение:

|x - 1| + |x - 2| + ... + |x - 2019| = a

Мы знаем, что уравнение имеет ровно одно решение. Чтобы найти все возможные значения a, мы можем рассмотреть несколько случаев.

Случай 1: x < 1 Если x < 1, то все модули в левой части уравнения будут отрицательными числами. Так как модуль всегда неотрицателен, сумма модулей будет отрицательной. Это означает, что левая часть уравнения никогда не будет равна положительному значению a. Следовательно, в этом случае нет решений.

Случай 2: 1 ≤ x ≤ 2019 Если 1 ≤ x ≤ 2019, то каждый модуль будет равен разности x и соответствующего числа от 1 до 2019. В этом случае уравнение примет вид:

(x - 1) + (x - 2) + ... + (x - 2019) = a

Раскроем скобки и упростим:

2019x - (1 + 2 + ... + 2019) = a 2019x - (2019)(2018)/2 = a 2019x - 2036161 = a

Таким образом, в этом случае возможные значения a - это все целые числа, которые могут быть представлены в виде 2019x - 2036161, где x является целым числом в интервале от 1 до 2019.

Случай 3: x > 2019 Если x > 2019, то все модули в левой части уравнения будут положительными числами. Так как сумма положительных чисел всегда положительна, левая часть уравнения никогда не будет равна отрицательному значению a. Следовательно, в этом случае нет решений.

Итак, все возможные значения a - это целые числа, представленные в виде 2019x - 2036161, где x является целым числом в интервале от 1 до 2019.