Question

Дам 50+баллов По кругу лежат 36 шариков, каждый из которых либо красный, либо синий (шарики каждого из этих цветов присутствуют). Известно, что: для любого красного шарика найдётся ровно один красный шарик такой, что между ними лежит ровно один шарик; для любого красного шарика найдётся ровно один красный шарик такой, что между ними лежат ровно три шарика. Пусть нет двух рядом лежащих красных шариков. Сколько всего красных шариков может лежать по кругу? Укажите все возможные варианты. Пусть есть два рядом лежащих красных шарика. Сколько всего красных шариков может лежать по кругу? Укажите все возможные варианты.

Answer 1

1)18

2) от 19 до 35

Во втором все числа от 19 до 35

Answer 2

Давайте рассмотрим первый случай, когда нет двух рядом лежащих красных шариков.

Предположим, у нас есть \( k \) красных шариков. Тогда у нас также будет \( k \) синих шариков, так как для каждого красного шарика найдется ровно один красный шарик справа и один красный шарик слева (из условия задачи). Таким образом, у нас есть \( 2k \) шариков.

Теперь давайте рассмотрим расположение этих шариков в круге. Каждый красный шарик имеет два соседа (один слева и один справа), поэтому у нас должно быть нечетное количество шариков, чтобы соблюсти это условие. Таким образом, \( 2k \) должно быть нечетным числом. Также у нас есть \( 36 \) шариков, следовательно, \( 2k = 36 \), отсюда \( k = 18 \).

Итак, в первом случае у нас \( 18 \) красных и \( 18 \) синих шариков.

Теперь рассмотрим второй случай, когда есть два рядом лежащих красных шарика.

Пусть у нас есть \( m \) красных шариков. Тогда у нас будет \( m \) синих шариков, так как между каждой парой красных шариков должно быть нечетное количество шариков, иначе условие задачи нарушится.

Таким образом, у нас будет \( 2m \) шариков.

Снова рассмотрим условие по кругу. Каждый красный шарик имеет теперь три соседа (два слева и один справа или наоборот). Чтобы удовлетворить это условие, количество шариков также должно быть нечетным. Таким образом, \( 2m \) должно быть нечетным числом. У нас есть \( 36 \) шариков, следовательно, \( 2m = 36 \), отсюда \( m = 18 \).

Итак, во втором случае у нас также \( 18 \) красных и \( 18 \) синих шариков.

Таким образом, существует два варианта распределения красных и синих шариков:

1. Без двух рядом лежащих красных шариков: \( 18 \) красных, \( 18 \) синих. 2. С двумя рядом лежащими красными шариками: \( 18 \) красных, \( 18 \) синих.

Так что общее количество красных шариков в обоих случаях равно \( 18 \).