Question

Докажите, что для любого натурального числа n 1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n=1-1/2^n

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

докажем методом мат индукции:

1) n = 1

1/2 = 1 - 1/2 - верно

2) пусть для n = k верно:

1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... + 1/2^k = 1 - 1/2^k

3) докажем, что верно для n = k+1

1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... + 1/2^k + 1/2^(k+1) = 1 - 1/2^k + 1/2^(k+1) = 1 - (2 - 1)/2^(k+1) = 1 - 1/2^(k+1)

получили то, что нужно

по методу мат индукции доказано

Answer 2

Ответ:

(на картинке)

Пошаговое объяснение:

Answer 3

Для доказательства данного утверждения, воспользуемся методом математической индукции.

1. Базовый шаг: При n = 1: Левая часть: 1/2^1 = 1/2 Правая часть: 1 - 1/2^1 = 1 - 1/2 = 1/2 Левая и правая части равны при n = 1.

2. Предположение индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть: 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + ... + 1/2^k = 1 - 1/2^k

3. Индукционный переход: Докажем, что утверждение также верно для n = k + 1, используя предположение индукции.

Левая часть для n = k + 1: 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + ... + 1/2^k + 1/2^(k+1)

Мы можем представить это как сумму двух частей: 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + ... + 1/2^k + 1/2^k * 1/2

Применяя предположение индукции, мы можем заменить первую часть этой суммы на (1 - 1/2^k):

(1 - 1/2^k) + 1/2^k * 1/2

Раскроем скобки:

1 - 1/2^k + 1/2^(k+1)

Общий знаменатель:

(2^(k+1) - 1)/2^(k+1) + 1/2^(k+1)

Сложим дроби:

(2^(k+1) - 1 + 1)/2^(k+1)

Упростим:

2^(k+1)/2^(k+1) = 1

Правая часть для n = k + 1: 1 - 1/2^(k+1)

Левая и правая части равны при n = k + 1.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для некоторого натурального числа k, то оно также верно для n = k + 1.

Исходя из базового шага и индукционного перехода, утверждение доказано для всех натуральных чисел n.