Question

Найти производную dy/dx , функции ln(x+y)=xy^2

Answer 1

Ответ:

=============================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения производной $\frac{{dy}}{{dx}}$ от уравнения $\ln(x+y) = xy^2$ воспользуемся методом неявного дифференцирования.

Сначала продифференцируем обе части уравнения по переменной $x$: $\frac{{d}}{{dx}}(\ln(x+y)) = \frac{{d}}{{dx}}(xy^2)$

Используя правило дифференцирования сложной функции $\frac{{d}}{{dx}}(\ln(f(x))) = \frac{{f'(x)}}{{f(x)}}$, получаем: $\frac{{1}}{{x+y}} \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x+y) = y^2 \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x)$

Поскольку $\frac{{d}}{{dx}}(x) = 1$, упростим выражение: $\frac{{1}}{{x+y}} \cdot (1 + \frac{{dy}}{{dx}}) = y^2$

Раскроем скобки: $\frac{{1}}{{x+y}} + \frac{{dy}}{{dx}} \cdot \frac{{1}}{{x+y}} = y^2$

Теперь выразим $\frac{{dy}}{{dx}}$: $\frac{{dy}}{{dx}} = y^2 \cdot (x+y) - \frac{{1}}{{x+y}}$

Таким образом, производная $\frac{{dy}}{{dx}}$ от уравнения $\ln(x+y) = xy^2$ равна $y^2 \cdot (x+y) - \frac{{1}}{{x+y}}$.