Question

Числа a,b,c и d удовлетворяют соотношению а²+b²+(a+b)²=c²+d²+(c+d)². Докажите что соотношение равно ​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

а²+b²+(a+b)²=c²+d²+(c+d)²

а²+b²+а²+2ab+b²=c²+d²+c²+2cd+d²

2а²+2b²+2ab=2c²+2d²+2cd

2(а²+ab+b²)=2(c²+cd+d²)

Делим оба примера на 2:

а²+ab+b²=c²+cd+d²

Тоесть а=с,b=d

Answer 2

Давайте начнем с раскрытия квадратов в данном равенстве:

a² + b² + (a + b)² = c² + d² + (c + d)²

Раскроем квадрат (a + b)²:

a² + b² + (a² + 2ab + b²) = c² + d² + (c² + 2cd + d²)

Упростим выражение:

2a² + 2b² + 2ab = 2c² + 2d² + 2cd

Теперь вычтем 2(a² + b²) из обеих сторон уравнения:

2ab = 2cd

Поделим обе стороны на 2:

ab = cd

Теперь давайте рассмотрим выражение (a - c)²:

(a - c)² = a² - 2ac + c²

Аналогично, рассмотрим выражение (b - d)²:

(b - d)² = b² - 2bd + d²

Сложим эти два выражения:

(a - c)² + (b - d)² = a² - 2ac + c² + b² - 2bd + d²

Мы можем переписать левую часть этого равенства, используя изначальное условие:

(a - c)² + (b - d)² = (a² + b² + (a + b)²) - (c² + d² + (c + d)²)

Подставим значения из начального условия:

(a - c)² + (b - d)² = (c² + d² + (c + d)²) - (c² + d² + (c + d)²)

Теперь упростим это выражение:

(a - c)² + (b - d)² = 0

У нас получилось, что сумма двух квадратов равна нулю. Это возможно только если каждый квадрат отдельно равен нулю. Таким образом, получаем:

(a - c)² = 0 и (b - d)² = 0

Из этого следует, что (a - c) = 0 и (b - d) = 0, то есть a = c и b = d.

Таким образом, мы доказали, что если a² + b² + (a + b)² = c² + d² + (c + d)², то a = c и b = d.