Question

Доказать что det (3A)=27 det A для матрицы 3 ×3 Подробное решение пожалуйста

Answer 1

$det(3A)=det(3E_3*A)=det(3E_3)*det(A)=det(diag(3;3;3))*det(A)=3*3*3*det(A)=27det(A)$

Answer 2

Чтобы доказать, что det(3A) = 27 det(A) для матрицы 3×3, мы можем использовать свойства определителей матриц. Давайте разберемся с поэлементным умножением матрицы на скаляр.

Пусть A = [a₁₁, a₁₂, a₁₃; a₂₁, a₂₂, a₂₃; a₃₁, a₃₂, a₃₃] - матрица размером 3×3.

Тогда 3A = [3a₁₁, 3a₁₂, 3a₁₃; 3a₂₁, 3a₂₂, 3a₂₃; 3a₃₁, 3a₃₂, 3a₃₃].

Определитель матрицы 3×3 можно вычислить по формуле:

det(A) = a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₁₂(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁).

Теперь вычислим определитель для матрицы 3A:

det(3A) = (3a₁₁)(3a₂₂3a₃₃ - 3a₂₃3a₃₂) - (3a₁₂)(3a₂₁3a₃₃ - 3a₂₃3a₃₁) + (3a₁₃)(3a₂₁3a₃₂ - 3a₂₂3a₃₁).

Приведем подобные слагаемые:

det(3A) = 27a₁₁a₂₂a₃₃ - 27a₁₁a₂₃a₃₂ - 27a₁₂a₂₁a₃₃ + 27a₁₂a₂₃a₃₁ + 27a₁₃a₂₁a₃₂ - 27a₁₃a₂₂a₃₁.

Теперь вспомним формулу определителя для матрицы A и подставим ее значения:

det(3A) = 27(a₁₁a₂₂a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁).

Мы видим, что каждое слагаемое в этом выражении равно 27-кратному соответствующему слагаемому в определителе матрицы A.

Таким образом, det(3A) = 27 det(A), что и требовалось доказать.