Question

В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность (если считать выбор случайным), что выбраны: 1) два мальчика; 2) две девочки; 3) девочка и мальчик?

Answer 1

В классе всего 12 + 18 = 30.

1) Вероятность выбрать первого мальчика равна $\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5}$. Одного человека мы выбрали уже, тогда в классе остается 11 мальчиков и 18 девочек. Вероятность выбрать второго мальчика равна $\dfrac{11}{29}$. По теореме умножения, искомая вероятность: $P_1=\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{11}{29}=\dfrac{22}{145}$

2) Выбрать первую девочку можно с вероятностью $\dfrac{18}{30}=\dfrac{3}{5}$. В классе остается 29 человек из них 17 девочек. Вероятность выбрать вторую девочку равна $\dfrac{17}{29}$. По теореме умножения, искомая вероятность: $P_2=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{17}{29}=\dfrac{51}{145}$

3) Вероятность того, что среди двух выбранных человек окажутся девочка и мальчик, равна $P=1-P_1-P_2=1-\dfrac{22}{145}-\dfrac{51}{145}=\dfrac{72}{145}$

Ответ: 1) 22/145; 2) 51/145; 3) 72/145.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу вероятности. Общее количество способов выбрать двух человек из класса, содержащего 30 человек (12 мальчиков и 18 девочек), равно сочетанию из 30 по 2:

C(30, 2) = (30!)/(2!(30-2)!) = (30!)/(2!28!) = (30 * 29)/(2 * 1) = 435.

1. Чтобы выбрать двух мальчиков, мы должны выбрать 2 из 12 мальчиков, что равно сочетанию из 12 по 2:

C(12, 2) = (12!)/(2!(12-2)!) = (12!)/(2!10!) = (12 * 11)/(2 * 1) = 66.

Таким образом, вероятность выбрать двух мальчиков составляет 66/435 = 2/15 или около 0.1333.

2. Чтобы выбрать двух девочек, мы должны выбрать 2 из 18 девочек, что также равно сочетанию из 18 по 2:

C(18, 2) = (18!)/(2!(18-2)!) = (18!)/(2!16!) = (18 * 17)/(2 * 1) = 153.

Таким образом, вероятность выбрать двух девочек составляет 153/435 или около 0.3517.

3. Чтобы выбрать одного мальчика и одну девочку, мы должны выбрать 1 из 12 мальчиков и 1 из 18 девочек. Так как выборы независимы, мы можем перемножить вероятности каждого события:

P(мальчик и девочка) = P(мальчик) * P(девочка) = (12/30) * (18/29) ≈ 0.2483.

Таким образом, вероятность выбрать девочку и мальчика составляет около 0.2483.

Обратите внимание, что сумма вероятностей всех трех случаев должна быть равна 1.