Question

Доказать тождество 1+sin 2x (cos x +sin x )2​

Answer 1

1+sin2x = (sinx + cosx)²

1+sin2x = sin²x + 2•sinx•cosx + cox²x

1+sin2x = (sin²x + cos²x) + 2•sinx•cosx

1+sin2x = 1 + sin2x

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны:

1 + sin(2x)(cos(x) + sin(x))^2

После раскрытия квадрата второго слагаемого в скобках получаем:

1 + sin(2x)(cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) + sin^2(x))

Теперь раскроем скобку, учитывая тригонометрические тождества:

1 + sin(2x)(1 + sin(2x) + sin^2(x) + sin^2(x))

Объединим подобные слагаемые:

1 + sin(2x) + sin^2(x)sin(2x) + sin^2(x)

Используем тождество sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

1 + sin(2x) + (1 - cos^2(x))sin(2x) + (1 - cos^2(x))

Раскроем скобку и объединим слагаемые:

1 + sin(2x) + sin(2x) - sin(2x)cos^2(x) + 1 - cos^2(x)

Сгруппируем слагаемые:

2 + 2sin(2x) - sin(2x)cos^2(x) - cos^2(x)

Факторизуем последние два слагаемых:

2 + sin(2x)(2 - cos^2(x)) - cos^2(x)

Используем тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x):

2 + sin(2x)(2 - (1 - sin^2(x))) - (1 - sin^2(x))

Сокращаем слагаемые:

2 + sin(2x)(2 - 1 + sin^2(x)) - 1 + sin^2(x)

2 + sin(2x)(1 + sin^2(x)) - 1 + sin^2(x)

Объединяем слагаемые:

2 + sin(2x)(1 + sin^2(x) + 1 - sin^2(x)) - 1

2 + sin(2x)(2) - 1

2 + 2sin(2x) - 1

1 + 2sin(2x)

Таким образом, мы получили правую сторону тождества, что означает, что левая и правая стороны равны. Тождество доказано.