Question

Кто хорошо разбирается в комбинаторике, помогите, пожалуйста. Алёна, Емеля и 5 их одноклассников захотели встать в шеренгу так, чтобы между Алёной и Емелей стоял ровно один человек. Сколькими способами они могут это сделать?

Answer 1

Пронумеруем места в шеренге от 1 до 7. Алёна и Емеля должны следующие пары мест: 1 и 3, 2 и 4, 3 и 5, 4 и 6, 5 и 7. В каждой из этих пяти пар есть два варианта расстановки Алёны и Емели (например, Алена на первом месте, Емеля на третьем и Емеля на первом, Алёна на втором). То есть всего 5*2 = 10 вариантов.

Остальные 5 мест должны занять оставшиеся 5 учеников. В каждом случае они могут сделать это 5! = 1·2·3·4·5 = 120 способами.

Тогда всего способов 10·120 = 1200

Answer 2

Чтобы решить данную задачу комбинаторики, мы можем использовать метод перебора всех возможных вариантов.

У нас есть следующая последовательность: A - _ - E, где A обозначает Алёну, E - Емеля, а _ - пустое место, которое может быть занято одним из 5 оставшихся одноклассников.

Мы можем рассмотреть два случая: пустое место слева от Алёны и пустое место справа от Алёны.

1. Пустое место слева от Алёны:

   • Сначала выбираем одного из 5 оставшихся одноклассников для занятия пустого места слева от Алёны. Это можно сделать 5 способами.
   • Затем остающихся 6 человек можно расставить на оставшиеся места (пустое место справа от Алёны и места для остальных одноклассников) 6! способами.
   • Всего возможных способов в этом случае: 5 * 6! = 5! * 6.

2. Пустое место справа от Алёны:

   • Сначала выбираем одного из 5 оставшихся одноклассников для занятия пустого места справа от Алёны. Это можно сделать также 5 способами.
   • Затем остающихся 6 человек можно расставить на оставшиеся места 6! способами.
   • Всего возможных способов в этом случае: 5 * 6! = 5! * 6.

Таким образом, общее количество способов, которыми они могут встать в шеренгу с условием, составит: 5! * 6 + 5! * 6 = 2 * 5! * 6 = 2 * 720 = 1440 способов.

Таким образом, они могут встать в шеренгу так, чтобы между Алёной и Емелей стоял ровно один человек, в 1440 различных способов.