Question

Докажите Tg2a-tga=tga/cos2a

Answer 1

Ответ:

tg a / (2tg a/(1-tg^2 a) — tg a) = (1-tg^2 a)/ (2-1+tg^2 a) =

= (1-tg^2 a)/ (1+tg^2 a) = (cos^2 a — sin ^2 a) * cos ^2 a/ cos ^2 a =

= cos 2a

Answer 2

Давайте докажем данное равенство, используя тригонометрические тождества.

Начнем с левой стороны:

tg(2a) - tg(a) = (sin(2a)/cos(2a)) - (sin(a)/cos(a))

Теперь приведем оба слагаемых к общему знаменателю, умножив первое слагаемое на cos(a) и второе слагаемое на cos(2a):

tg(2a) - tg(a) = (sin(2a)cos(a) - sin(a)cos(2a))/(cos(2a)cos(a))

Теперь воспользуемся формулой синуса разности:

tg(2a) - tg(a) = (2sin(a)cos(a)cos(a) - sin(a)cos(2a))/(cos(2a)cos(a))

tg(2a) - tg(a) = (2sin(a)cos^2(a) - sin(a)cos(2a))/(cos(2a)cos(a))

Теперь упростим числитель:

tg(2a) - tg(a) = sin(a)(2cos^2(a) - cos(2a))/(cos(2a)cos(a))

Используем тригонометрическую формулу двойного угла для косинуса:

tg(2a) - tg(a) = sin(a)(2cos^2(a) - 2cos^2(a) + 1)/(cos(2a)cos(a))

Упрощаем числитель:

tg(2a) - tg(a) = sin(a)(1)/(cos(2a)cos(a))

tg(2a) - tg(a) = sin(a)/(cos(2a)cos(a))

Теперь рассмотрим правую сторону:

tg(a)/cos(2a) = (sin(a)/cos(a))/(cos(2a))

tg(a)/cos(2a) = sin(a)/(cos(2a)cos(a))

Таким образом, мы получили, что левая и правая стороны равенства совпадают, что и требовалось доказать:

tg(2a) - tg(a) = tg(a)/cos(2a) = tga/cos2a